p-адычны лік (дзе p — нейкі выбраны просты лік) — элемент пашырэнняполярацыянальных лікаў, якое з’яўляецца папаўненнем поля рацыянальных лікаў адносна p-адычнай нормы, вызначанай на аснове ўласцівасцей дзялімасці цэлых лікаў на р.
Няхай p — некаторы просты лік.
Цэлым p-адычным лікам называецца бесканечная паслядоўнасць цэлых лікаў , якія задавальняюць умову:
Дзве паслядоўнасці і вызначаюць адзін і той жа цэлы p-адычным лік тады і толькі тады, калі
для ўсіх n ≥ 1.
Складанне і множанне цэлых p-адычных лікаў вызначаецца як пачленнае складанне і множанне такіх паслядоўнасцей. Для іх непасрэдна правяраюцца ўсе аксіёмы кальца.
Азначэнне праз праектыўны ліміт
У тэрмінах праектыўных лімітаў кальцо цэлых p-адычных лікаў вызначаецца як ліміт
кольцаў вылікаў па модулю адносна натуральных праекцый .
Такія пабудовы можна правесці ў выпадку не толькі простага ліку , але і любога састаўнога ліку — атрымаецца т. зв. кальцо -адычных лікаў, але гэтае кальцо ў адрозненне ад утрымлівае дзельнікі нуля, таму далейшыя пабудовы, якія разглядаюцца ніжэй, для яго непрыдатныя.
Уласцівасці
Кальцо цэлых p-адычных лікаў звычайна абазначаецца . Звычайныя цэлыя лікі ўкладваюцца ў відавочным чынам: і з’яўляюцца падкальцом.
Беручы ў якасці элемента класа вылікаў лік (такім чынам, ), мы можам запісаць кожны цэлы p-адычны лік у выглядзе адназначным чынам. Такое прадстаўленне называецца кананічным.
мы можам усякі p-адычны лік у кананічным выглядзе прадставіць як
ці запісаць у выглядзе бесканечнай паслядоўнасці лічбаў у p-ічнай сістэме злічэння
Дзеянні над такімі паслядоўнасцямі ажыццяўляюцца па звычайных правілах складання, адымання і множання «слупком» у p-ічнай сістэме злічэння.
У такой форме запісу натуральным лікам і нулю адпавядаюць p-адычныя лікі з канечнаю колькасцю ненулявых лічбаў, якія супадаюць з лічбамі зыходнага ліку. Адмоўным лікам адпавядаюць p-адычныя лікі з бесканечнаю колькасцю ненулявых лічбаў, напрыклад у пяцярковай сістэме −1=…4444=(4).
p-адычныя лікі
Азначэнне як поля дзелей
p-адычным лікам называецца элемент поля дзелей кальца цэлых p-адычных лікаў.
Гэтае поле называецца полем p-адычных лікаў.
Няцяжка даказаць, што любы цэлы p-адычны лік, някратны p, будзе абарачальным у колцы , а кратнае p адназначна запісваецца ў выглядзе , дзе лік x не дзеліцца на p і таму абарачальны, а n > 0.
Таму любы ненулявы элемент поля можна запісаць у выглядзе , дзе x не кратнае p, а n любое.
Калі n адмоўнае, то, зыходзячы з прадстаўлення цэлых p-адычных лікаў у выглядзе паслядоўнасці лічбаў у p-ічнай сістэме злічэння, мы можам запісаць такі p-адычны лік у выглядзе паслядоўнасці
г.зн. фармальна прадставіць у выглядзе p-ічнага дробу з канечным лікам лічбаў пасля коскі і, магчыма, бесканечнаю колькасцю ненулявых лічбаў да коскі.
Дзяліць такія лікі можна аналагічна «школьнаму» правілу, але пачынаючы з малодшых, а не старшых разрадаў ліку.
Метрычная пабудова
Любы ненулявы рацыянальны лік x можна запісаць як
дзе a і b — цэлыя лікі, якія не дзеляцца на p, а n — цэлы лік, які ў такім прадстаўленні вызначаецца адназначна.
Для нуля p-адычная норма паводле азначэння роўная нулю:
Поле p-адычных лікаў ёсць папаўненне поля рацыянальных лікаў з метрыкаю , вызначанаю p-адычнай нормай:
Гэтая пабудова аналагічная пабудове поля рэчаісных лікаў як папаўнення поля рацыянальных лікаў пры дапамозе нормы, якая з’яўляецца звычайнаю абсалютнаю велічынёю.
Норма працягваецца па непарыўнасці да нормы на .
Уласцівасці
Кожны элемент x поля p-адычных лікаў можна прадставіць у выглядзе збежнага рада
дзе — некаторы цэлы лік, а — цэлыя неадмоўныя лікі, не большыя чым . А іменна, у якасці тут выступаюць лічбы з запісу x у сістэме злічэння з асноваю p. Такая сума заўсёды збягаецца ў метрыцы да самога .
Для розных p нормы незалежныя, а палі неізаморфныя.
Для любых элементаў , , , , , … такіх, што і , можна знайсці паслядоўнасць рацыянальных лікаў такіх, што для любога p і .
Выкарыстанне
Калі — мнагачлен з цэлымі каэфіцыентамі, то вырашальнасць пры ўсіх k параўнання
раўназначная вырашальнасці ўраўнення
у цэлых p-адычных ліках. Неабходнаю ўмоваю вырашальнасці гэтага ўраўнення ў цэлых ці рацыянальных ліках з’яўляецца яго вырашальнасць у кольцах ці, адпаведна, палях p-адычных лікаў пры ўсіх p, а таксама ў полі рэчаісных лікаў. Для некаторых класаў мнагачленаў (напрыклад, для квадратычных форм) гэтая ўмова з’яўляецца таксама дастатковаю.
На практыцы для праверкі вырашальнасці ўраўнення ў цэлых p-адычных ліках дастаткова праверыць вырашальнасць названага параўнання для пэўнага канечнага ліку значэнняў k. Напрыклад, згодна з лемаю Хензеля, пры дастатковаю ўмоваю для вырашальнасці параўнання пры ўсіх натуральных k будзе наяўнасць простага рашэння ў параўнання па модулю p (г.зн. простага кораня ў адпаведнага ўраўнення ў полі вылікаў па модулю p). Інакш кажучы, пры для праверкі наяўнасці кораня ў ураўнення у цэлых p-адычных ліках, як правіла, дастаткова рашыць адпаведнае параўнанне пры .
Зноскі
↑чытаецца: пэ-адычны; адпаведна: два-адычны, тры-адычны і г.д.