Dodecàgon

Dodecàgon

Tipus	polígon i dodecàtop
Forma de les cares	aresta (12)
Configuració de vèrtex	segment
Elements
Vèrtexs	12
Arestes	12
Sèrie
← hendecàgon tridecàgon →
Més informació
MathWorld	Dodecagon

En geometria, un dodecàgon és un polígon de dotze costats i, per tant, de dotze vèrtexs.

El nom "dodecàgon" prové del grec antic dodecagon, de dodeca "dotze" + gon "angle".

Els angles interns d'un dodecàgon sumen 1800º.

Dodecàgon regular

Un dodecàgon és regular quan tots els seus costats i angles tenen la mateixa mesura. Els angles interiors d'un dodecàgon són de 1800º / 12 = 150º.

El dodecàgon regular és construïble amb regle i compàs.

El símbol de Schläfli és {12} i pot ser construït com un hexàgon truncat, t{6}, o un triangle doblement truncat, tt{3}.

Perímetre

El perímetre d'un dodecàgon regular de costat ${\displaystyle L}$ és

${\displaystyle P=12\cdot L}$

O bé, en termes del circumradi ${\displaystyle r}$ és

${\displaystyle {\begin{aligned}P&=24r\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)=12r{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}\\&\simeq 6.21165708246\,r\end{aligned}}}$

Àrea

L'àrea d'un dodecàgon regular de costat ${\displaystyle L}$ és

${\displaystyle A={\frac {3\cdot L^{2}}{\tan({\frac {\pi }{12}})}}=L^{2}\cdot (6+3{\sqrt {3}})\simeq 11,1962\ L^{2}}$

O bé, en funció de l'apotema ${\displaystyle a}$ i del costat ${\displaystyle L}$ del dodecàgon,

${\displaystyle A={\frac {P\cdot a}{2}}={\frac {12\cdot L\cdot a}{2}}=6\cdot L\cdot a}$

També, en funció d'únicament l'apotema ${\displaystyle a}$,

${\displaystyle A=a^{2}\cdot (24-12{\sqrt {3}})}$

I, finalment, en funció del radio ${\displaystyle r}$ de la circumferència circumscrita al dodecàgon,

${\displaystyle A=3r^{2}}$

Construcció d'un dodecàgon regular

A continuació es presenta un mètode de construcció del dodecàgon regular amb regle i compàs en 23 passos. Cal tenir en compte que entre els passos 8 i 11 no es modifica l'obertura del compàs.

Vegeu també

• Dodecaedre

Referències

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Dodecàgon

Viccionari