Matematická analýza
V tomto článku prozkoumáme fascinující svět Matematická analýza, téma, které v průběhu let vzbudilo zájem mnoha lidí. Matematická analýza byl předmětem mnoha studií a výzkumů a jeho relevance v průběhu času zůstala zachována. Od svého vzniku až po svůj dopad na dnešní společnost, Matematická analýza zanechal významnou stopu v různých aspektech každodenního života. Prostřednictvím tohoto článku se ponoříme do různých aspektů, které činí Matematická analýza tak relevantním a zajímavým tématem, a prozkoumáme jeho vývoj v čase a jeho vliv v různých oblastech. Připravte se ponořit se do vzrušujícího vesmíru Matematická analýza!
Matematická analýza (řecky ανάλυσις „řešení“, starořecky ἀναλύειν ánalýein „řešit“) je jednou ze základních disciplín matematiky. Jejími základními pojmy jsou funkce, limita (posloupností a funkcí), derivace a integrál. Zahrnuje však také teorii míry, nekonečných řad a analytických funkcí. Metody matematické analýzy mají velký význam v přírodních a technických vědách.
Základy matematické analýzy (infinitezimální počet) se zejména v anglosaských zemích označují jako calculus, kalkul(us), což se po roce 2000 prosazuje někde i do češtiny. (Existuje však i logický kalkulus.) Toto označení pochází z latinského slova calculus, oblázek. Ve starověkém Římě se oblázky používaly v abacích, což byly desky s drážkami, ve kterých se kaménky posunovaly obdobně jako korálky na drátěném počítadle.
Předmět zkoumání
Základními oblastmi matematické analýzy jsou teorie posloupností, limit, integrální počet a diferenciální počet na množině reálných čísel. Dále sem patří teorie obyčejných i parciálních diferenciálních rovnic, integrálních rovnic, funkcí komplexní proměnné, diferenciální geometrie, variační počet a další obory.
Původně se matematická analýza studovala v oboru reálných, později komplexních čísel. V současnosti se však její metody aplikují v široké třídě topologických prostorů. Důvodem je jednak možnost aplikace na širší třídu problémů (například studium funkcionální analýzy), jednak hlubší porozumění analýze v abstraktnějších prostorech, jež se už mnohokrát ukázalo být přímo aplikovatelné na klasické problémy. Jedním z příkladů by mohla být Fourierova analýza, kde jsou funkce vyjádřeny jako určité nekonečné řady (s komplexním exponentem nebo řady trigonometrických funkcí). V reálném světě je tato dekompozice užitečná k rozložení libovolné (zvukové) vlny až na jednotlivé frekvenční součásti. Koeficienty výrazu ve Fourierově rozvoji funkce mohou být také uvažovány jako vektory nekonečně-dimenzionálního prostoru, který je známý jako Hilbertův prostor. Studium funkcí definovaných v takto dostatečně obecných podmínkách také poskytuje pohodlnou metodu získávání informací o tom, jak se funkce mění v prostoru, stejně jako v čase. Při řešení parciálních diferenciálních rovnic se tato technika nazývá oddělení proměnných.
Historie
První kroky v analýze byly učiněny již v počátcích řecké matematiky v období antiky. Například nekonečná geometrická řada byla známa již tehdy díky Zénonovým aporiím. Později řečtí matematici jako například Eudoxos a Archimédés vytvořili ještě jasnější, ovšem zatím neformální, použití konceptu limit a konvergence, když používali metodu vyčerpání ke spočtení plochy a obsahu/objemu dvou- a třírozměrných objektů. V 12. století v Indii vytvořil matematik Bháskara II. koncepci diferenciálního počtu, příklady derivačního a diferenciálního koeficientu a také tvrzení, které je dnes známé jako Rolleova věta.
Základy matematické analýzy vznikají až v době, kdy byl přesně definován infinitezimální počet, nezávisle na sobě Leibnizem a Newtonem.
Úspěch infinitesimálního počtu se vyvinul časem na diferenciální rovnice, vektorový počet, variační počet, komplexní analýzu a diferenciální topologii.
Aplikace
Vývoj a použití kalkulu (diferenciálního a integrálního počtu) a matematické analýzy měl a má dalekosáhlé důsledky pro téměř všechny aspekty života v moderním světě. Je používán téměř ve všech vědách, především ve fyzice. Prakticky všechny moderní výdobytky, například různé stavební techniky, letectví a jiné technologie používají infinitezimální počet přímo ve svých základech. Mnoho algebraických vzorců, které jsou dnes používané v balistice, energetice a jiných praktických vědách, byly odvozené prostřednictvím kalkulu.
Odkazy
Reference
V tomto článku byly použity překlady textů z článků Analysis na německé Wikipedii a Mathematical analysis na anglické Wikipedii.
- ↑ Whittaker, Watson. : , 1927. Kapitola 3.
- ↑ HEWITT, Edwin; STROMBERG, Karl. Real and Abstract Analysis. : Springer-Verlag, 1965. Dostupné online.
- ↑ Ilja Černý, Úvod do inteligentního kalkulu : 1000 příkladů z elementární analýzy. Praha : Academia, 2002
- ↑ G. J. Šilov: Matematická analýza. Alfa, Bratislava 1974, str. 9
- ↑ STILLWELL, John. Real and Abstract Analysis. : , 2004. 170 s. Kapitola Infinite Series.
„Nekonečné řady byly v řecké matematice přítomny, Není pochyb, že Zénonův dichotomický paradox (Sekce 4.1) se zabývá například rozložením čísla 1 do nekonečné řady 1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 + 1/2^4 + ... a že Archimedes nalezl oblast parabolického segmentu (Sekce 4.4) vlastně sčítáním nekonečné řady 1 + 1/4 + 1/4^2 + 1/4^3 + ... = 4/3. Oba tyto příklady jsou zvláštními případy toho, co dnes označujeme jako součet geometrické řady“ - ↑ (, 1958)Smith. : , 1958.
Literatura
- Matematická analýza nejen pro fyziky (I) až (III) , Praha : Matfyzpress, 2004 až 2007, ISBN 80-86732-25-8, ISBN 80-7378-007-0, ISBN 978-80-7378-020-3, Jiří Kopáček
- Measure and integral, Praha : Matfyzpress, 2005, ISBN 80-86732-68-1, Jaroslav Lukeš, Jan Malý
Související články
Externí odkazy
Obrázky, zvuky či videa k tématu matematická analýza na Wikimedia Commons - Největší vědecké spory historie: Kdo první objevil derivaci? – 21. století, Martin Janda (19. 02. 2007)
