Dipôle magnétique

Soient deux dipôles ${\displaystyle D_{1}}$ et ${\displaystyle D_{2}}$ et leur moment magnétique respectif ${\displaystyle {\vec {\mu _{1}}}}$ et ${\displaystyle {\vec {\mu _{2}}}}$. Appelons ${\displaystyle E_{p}}$ l'interaction du moment magnétique ${\displaystyle {\vec {\mu _{2}}}}$ avec le champ créé par ${\displaystyle {\vec {\mu _{1}}}}$ au niveau de ${\displaystyle D_{2}}$. Le moment magnétique ${\displaystyle {\vec {\mu _{1}}}}$ de ${\displaystyle D_{1}}$ crée à la distance r (considérée grande) le potentiel vecteur ${\displaystyle {\vec {A_{1}}}:}$

${\displaystyle {\vec {A_{1}}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {{\vec {\mu _{1}}}\wedge {\vec {r}}}{r^{3}}}}$

Ce potentiel vecteur crée en ${\displaystyle {\vec {r}}}$ un champ magnétique ${\displaystyle {\vec {B_{1}}}={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A_{1}}}}$. En fixant arbitrairement ${\displaystyle {\vec {\mu _{1}}}}$ selon l'orientation de l'axe Oz:

${\displaystyle {\vec {A_{1}}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\mu _{1}{\frac {{\vec {e_{z}}}\wedge {\vec {r}}}{r^{3}}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\mu _{1}{\frac {\sin \theta }{r^{2}}}{\vec {e_{\varphi }}}=A_{\varphi }{\vec {e_{\varphi }}}}$ en coordonnées polaires.

${\displaystyle \Rightarrow {\vec {B_{1}}}={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A_{1}}}={\begin{pmatrix}{}{\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial (\sin \theta A_{\varphi })}{\partial \theta }}-{\frac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)\\{\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}-\sin \theta {\frac {\partial (rA_{\varphi })}{\partial r}}\right)\\{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial (rA_{\theta })}{\partial r}}-{\frac {\partial (A_{r})}{\partial \theta }}\right)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{}{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial (\sin \theta A_{\varphi })}{\partial \theta }}\\-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial (rA_{\varphi })}{\partial r}}\\0\end{pmatrix}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\mu _{1}{\begin{pmatrix}{}{\frac {1}{r^{3}\sin \theta }}{\frac {\partial (\sin ^{2}\theta )}{\partial \theta }}\\-{\frac {\sin \theta }{r}}{\frac {\partial (r^{-1})}{\partial r}}\\0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\mu _{1}{\begin{pmatrix}{}{\frac {2\cos \theta }{r^{3}}}\\{\frac {\sin \theta }{r^{3}}}\\0\end{pmatrix}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\left(2({\vec {\mu }}_{1}.{\vec {u}}){\vec {u}}+\mu _{1}\sin \theta {\vec {e_{\theta }}}\right)={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\left(3({\vec {\mu }}_{1}.{\vec {u}}){\vec {u}}+\mu _{1}\sin \theta {\vec {e_{\theta }}}-\mu _{1}\cos \theta {\vec {u}}\right)}$

or:${\displaystyle {\begin{cases}{\vec {u}}=\sin \theta \cos \varphi {\vec {e_{x}}}+\sin \theta \sin \varphi {\vec {e_{y}}}+\cos \theta {\vec {e_{z}}}\\{\vec {e}}_{\theta }={\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial \theta }}=\cos \theta \cos \varphi {\vec {e_{x}}}+\cos \theta \sin \varphi {\vec {e_{y}}}-\sin \theta {\vec {e_{z}}}\end{cases}}}$

${\displaystyle \Rightarrow {\begin{cases}\cos \theta {\vec {u}}=\cos \theta \sin \theta \cos \varphi {\vec {e_{x}}}+\cos \theta \sin \theta \sin \varphi {\vec {e_{y}}}+\cos ^{2}\theta {\vec {e_{z}}}\\-\sin \theta {\vec {e_{\theta }}}=-\cos \theta \cos \varphi \sin \theta {\vec {e_{x}}}-\cos \theta \sin \theta \sin \varphi {\vec {e_{y}}}+\sin ^{2}\theta {\vec {e_{z}}}\end{cases}}\Rightarrow \cos \theta {\vec {u}}-\sin \theta {\vec {e_{\theta }}}={\vec {e_{z}}}}$

${\displaystyle \Rightarrow {\vec {B_{1}}}={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A_{1}}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {3({\vec {\mu }}_{1}.{\vec {u}}){\vec {u}}-{\vec {\mu _{1}}}}{r^{3}}}\right)}$

Du fait de ${\displaystyle D_{1}}$, il y a création d'une énergie potentielle d'interaction sur ${\displaystyle D_{1}}$: ${\displaystyle E_{p}=-{\vec {\mu _{2}}}.{\vec {B_{1}}}=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {3({\vec {\mu }}_{1}.{\vec {u}})({\vec {\mu _{2}}}.{\vec {u}})-{\vec {\mu _{1}}}.{\vec {\mu _{2}}}}{r^{3}}}\right)}$

C'est à partir de cette expression que l'on peut mettre en évidence, par la théorie des perturbations, la structure fine dans le spectre de résonance magnétique résultant de l'interaction des spins de 2 particules formant ainsi des dipôles magnétiques.

Soient deux dipôles ${\displaystyle D_{1}}$ et ${\displaystyle D_{2}}$ placés respectivement en A et B: ${\displaystyle {\vec {AB}}={\vec {r}}=r{\vec {u}};{\vec {OA}}={\vec {r_{A}}};{\vec {OB}}={\vec {r_{B}}}}$

Leur moment électrostatique respectif est noté: ${\displaystyle {\vec {p_{1}}}=q{\vec {r_{A}}}}$ et ${\displaystyle {\vec {p_{2}}}=q{\vec {r_{B}}}}$.

${\displaystyle {\vec {D_{1}}}}$ crée en ${\displaystyle {\vec {r}}}$ un potentiel électrique V qui interagit avec ${\displaystyle {\vec {D_{2}}}}$. Cela donne naissance à une énergie l'interaction ${\displaystyle E_{p}}$. Un champ électrique ${\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}V}$ dérive du potentiel ${\displaystyle V({\vec {r}})}$.

Si ${\displaystyle {\vec {r}}}$ est suffisamment grand, le potentiel ${\displaystyle V({\vec {r}})}$ a pour expression: ${\displaystyle V({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {{\vec {p_{1}}}.{\vec {r}}}{r^{3}}}}$ Il s'ensuit : ${\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}V({\vec {r}})=-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\vec {\nabla }}\left({\frac {{\vec {r_{A}}}.{\vec {r}}}{r^{3}}}\right)=-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\begin{pmatrix}{}{\frac {\partial }{\partial r}}{\frac {{\vec {r_{A}}}.{\vec {r}}}{r^{3}}}\\{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left({\frac {{\vec {r_{A}}}.{\vec {r}}}{r^{3}}}\right)\\{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\left({\frac {{\vec {r_{A}}}.{\vec {r}}}{r^{3}}}\right)\end{pmatrix}}=-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\begin{pmatrix}{}-2{\frac {r_{A}}{r^{3}}}\cos \theta \\-{\frac {r_{A}}{r^{3}}}\sin \theta \\0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {r_{A}}{r^{3}}}(3\cos \theta {\vec {u}}-\cos \theta {\vec {u}}+\sin \theta {\vec {e_{\theta }}}}$

or:${\displaystyle {\begin{cases}{\vec {u}}=\sin \theta \cos \varphi {\vec {e_{x}}}+\sin \theta \sin \varphi {\vec {e_{y}}}+\cos \theta {\vec {e_{z}}}\\{\vec {e}}_{\theta }={\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial \theta }}=\cos \theta \cos \varphi {\vec {e_{x}}}+\cos \theta \sin \varphi {\vec {e_{y}}}-\sin \theta {\vec {e_{z}}}\end{cases}}}$

${\displaystyle \Rightarrow {\begin{cases}\cos \theta {\vec {u}}=\cos \theta \sin \theta \cos \varphi {\vec {e_{x}}}+\cos \theta \sin \theta \sin \varphi {\vec {e_{y}}}+\cos ^{2}\theta {\vec {e_{z}}}\\-\sin \theta {\vec {e_{\theta }}}=-\cos \theta \cos \varphi \sin \theta {\vec {e_{x}}}-\cos \theta \sin \theta \sin \varphi {\vec {e_{y}}}+\sin ^{2}\theta {\vec {e_{z}}}\end{cases}}\Rightarrow \cos \theta {\vec {u}}-\sin \theta {\vec {e_{\theta }}}={\vec {e_{z}}}}$

${\displaystyle \Rightarrow {\vec {E}}=-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {r_{A}}{r^{3}}}(-3\cos \theta {\vec {u}}+\cos {\vec {u}}-\sin \theta {\vec {e_{\theta }}})=-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r^{3}}}(r_{A}{\vec {e_{z}}}-3({\vec {r_{A}}}.{\vec {u}}){\vec {u}})}$

En fixant arbitrairement ${\displaystyle {\vec {r_{A}}}=r_{A}{\vec {e_{z}}}:{\vec {E}}=-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r^{3}}}({\vec {r_{A}}}-3({\vec {r_{A}}}.{\vec {u}}){\vec {u}})}$

L'interaction dipôle-dipôle est alors:${\displaystyle E_{p}=-{\vec {E}}.{\vec {p_{2}}}=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r^{3}}}\left({\vec {p_{1}}}.{\vec {p_{2}}}-3({\vec {p_{1}}}.{\vec {u}})({\vec {p_{2}}}.{\vec {u}})\right)}$

Cette expression permet de mettre en évidence, par la théorie des perturbations, les forces de Van der Waals qui interviennent dans les liaisons chimiques résultant de l'interaction électrostatique entre deux particules formant ainsi des dipôles électriques.