Այս հատկությունը մեծ դեր է կատարում դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման համար։ Օրինակ, դիֆերենցիալ հավասարման միակ լուծումը հանդիսանում է ֆունկցիան, որտեղ -ն կամայական հաստատուն է։
թիվը իռացիոնալ է և նույնիսկ տրանսցենդենտ։ Իր տրանսցենդենտությունը ապացուցվել է 1873 թվականին Շառլ Հերմիտի կողմից։ Ենթադրվում է, որ -ն նորմալ թիվ է, այսինքն՝ նրա գրառման մեջ տարբեր թվերի հանդիպելու հավանականությունը նույնն է։
Իռացիոնալության ապացուցում
Ենթադրենք, որ ռացիոնալ է։ Այդ դեպքում այն կարելի է ներկայացնել հետևյալ տեսքով՝ , որտեղ -ն ամբողջ թիվ է, իսկ -ն՝ բնական։ Հետևաբար, :
Բազմապատկելով հավասարման երկու մասերը -ով, կստանանք՝
Հավասարման աջ մասից -ը տեղափոխենք ձախ մաս՝
Աջ մասի բոլոր գումարելիները ամբողջ են, հետևաբար և ձախ մասի գումարը ամբողջ է։ Միաժամանակ այդ գումարը նաև դրական է, հետևաբար այն փոքր չէ 1-ից։
Մյուս կողմից՝
Աջ մասում գումարելով երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամները կստանանք՝
Քանի որ ,
Ստացանք հակասություն։
թիվը հանդիսանում է հաշվելի (և հետևաբար նաև թվաբանական) թիվ։
թվի իռացիոնալության չափը հավասար է 2-ի (այն է իռացիոնալ թվերի համար ամենափոքր հնարավոր արժեքը)։
Պատմություն
Այս թիվը երբեմն անվանում են նեպերյան ի պատիվ շոտլանդացի գիտնական Նեպերի, ով հայտնի է «Լոգարիթմների զարմանալի աղյուսակի նկարագրություն» աշխատությունով (1614 թ.)։ Սակայն այս անվանումն այնքան էլ տեղին չէ, քանի որ նրանում թվի լոգարիթմը հավասար էր ։
Առաջին անգամ հաստատունը ոչ ակնհայտ երևում է Նեպերի վերոնշյալ աշխատության հավելվածի անգլերեն թարգմանությունում, որը հրապարակվել է 1618 թվականին։ Ոչ ակնհայտ, որովհետև այնտեղ պարունակվում էին միայն բնական լոգարիթմների աղյուսակները, որոշված կինեմատիկ նկատառումներից, իսկ ինքը՝ հաստատունը, չի ներկայացել։
Հենց նույն հաստատունը առաջին անգամ հաշվել է շվեյցարացի մաթեմատիկոս Բեռնուլին սահմանային եկամուտի մեծության որոշման խնդրի լուծման ժամանակ։ Նա հայտնաբերել է, որ եթե սկզբնական գումարը 1 դոլար է և հաշվարկվում է 100% տարեկան մեկ անգամ տարվա վերջում, ապա գումարային արդյունքը կկազմի 2 դոլար։ Սակայն եթե այդ նույն տոկոսները հաշվարկենք տարվա մեջ երկու անգամ, ապա 1 դոլարը կբազմապատկվի 1.5-ով կրկնակի անգամ, արդյունքում ստանալով 1.00x1.52=2.25 դոլար։ Տոկոսների հաշվարկը քառորդ տարին մեկ անգամ կբերի 1.00x1.254=2.44140625 դոլար արդյունքի և այդպես շարունակ։ Բերնուլին ցույց տվեց, որ եթե տոկոսի հաշվարկի հաճախականությունը անվերջ մեծացնենք, ապա տոկոսային եկամուտը բարդ տոկոսի դեպքում ունի այսպիսի սահման՝ և այդ սահմանը հավասար է 2,71828...
1.00×(1+1/12)12 = 2.613035… դոլար
1.00×(1+1/365)365 = 2.714568… դոլար
Այսպիսով, հաստատունը նշանակում է առավելագույն մեծ տարեկան եկամուտ 100% տարեկանի դեպքում և տոկոսների կապիտալիզացիայի առավելագույն մաս։
Այս հաստատունի առաջին հայտնի օգտագործումը, որտեղ այն նշանակված էր տառով, հանդիպել է 1690-1691 թվականներին Լեյբնիցի և Հյույգենսի նամակներում։
տառը սկսեց օգտագործել էյլերը 1727 թվականին, իսկ այդ տառով առաջին հրապարակումը եղել է նրա «Մեխանիկա կամ գիտություն շարժման մասին՝ մեկնաբանված անալիտիկորեն» աշխատությունում 1736 թվականին։ Համապատասխանաբար, –ն սովորաբար անվանում են Էյլերի թիվ։ Չնայած հետագայում որոշ գիտնականներ սկսեցին օգտագործել տառը, այնուամենայնիվ տառը օգտագործվում էր ավելի հաճախ և մեր օրերում էլ հանդիսանում է ստանդարտ նշանակում։
Ինչու հենց տառն ընտրվեց՝ անհայտ է։ Հնարավոր է, որ այն կապված է նրա հետ, որ նրանով սկսվում է («ցուցչային», «էքսպոնենտային») բառը։ Մեկ այլ ենթադրությամբ և տառերը այլ նպատակներով ավելի հաճախ են օգտագործվել, և -ն առաջին «ազատ» տառն էր հանդիսանում։ Հատկանշական է նաև, որ -ն հանդիսանում է Էյլերի () ազգանվան առաջին տառը։
Մոտարկումներ
Թիվը կարելի է հիշել որպես 2,7 և կրկնվող 18, 28, 18, 28 թվեր։
թվի կանոնը կապվում է ԱՄՆնախագահԷնդրյու Ջեքսոնի հետ. 2 անգամ ընտրվել է, եղել է ԱՄՆ-ի 7-րդ նախագահը, 1828 թվականը նրա ընտրվելու թվականն է, կրկնվում է երկու անգամ, քանի որ Է.Ջեքսոնը ընտրվել է երկու անգամ։ Այնուհետև հավասարակողմ ուղղանկյուն եռանկյուն։
Ստորակետից հետո երեք նշանի ճշտությամբ «սատանայի թվի» օգնությամբ. անհրաժեշտ է 666-ը բաժանել թվի վրա, որը կազմված է 6-4, 6-2, 6-1 թվերից (երեք վեցեր, որոնցից հակառակ կարգով հեռացվում է երկուսի առաջին երեք աստիճանները)՝ ։
թիվը հիշվում է որպես (0,001-ի ճշտությամբ)։
թվի կոպիտ մոտարկումը (0,001-ի ճշտությամբ) հավասար է ։ Առավել կոպիտ մոտարկմամբ (0,01-ի ճշտությամբ) այն արտահայտվում է արտահայտությամբ։
«Բոյինգի կանոնը». տալիս է 0,0005-ի ճշտություն։
-ի ճշտությամբ՝ ,
-ի ճշտությամբ՝ ,
-ի ճշտությամբ՝ :
, 0,000001 ճշտությամբ։
19/7 հարաբերությունը թիվը գերազանցում է 0,004-ից փոքր։
87/32 թիվը գերազանցում է թիվը 0,0005-ից փոքր։
193/71 թիվը գերազանցում է թիվը 0,00003-ից փոքր։
1264/465 թիվը գերազանցում է թիվը 0,000003-ից փոքր։
2721/1001 թիվը գերազանցում է թիվը 0,000002-ից փոքր։
23225/8544 թիվը գերազանցում է թիվը 0,00000001-ից փոքր։
2004 թվականին Google ընկերության IPO-ում հայտարարվեց ընկերության մտադրությունը 2 718 281 828 դոլարով իր եկամուտները ավելացնելու մասին։ Հայտարարված թիվն իրենից ներկայացնում էր հայտնի մաթեմատիկական հաստատունի առաջին 10 թվանշանները։
Տեսականորեն համարվում է, որ առավել արտադրողական համակարգիչները պետք է ունենան թվին հավասար կարգայնություն։ Երեքական ԷՀՄ-ները մոտ են այդ արժեքին, սակայն տեխնիկական բարդությունների պատճառով դրանք տարածում չգտան։ Դրանց փոխարեն տարածում գտան երկուական(Բուլյան) հանրահաշվի վրա հիմնված համակարգիչները։
Ծրագրավորման լեզուներում սիմվոլը թվերի ցուցչային գրառումներում համապատասխանում է 10 թվին, այլ ոչ Էյլերի թվին։ Այն կապված է FORTRAN լեզվի ստեղծման և օգտագործման պատմության հետ, որում կատարվում են մաթեմատիկական հաշվարկներ։
Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից (հ․ 8, էջ 236)։