Հերոնի բանաձև

Այս հոդվածն աղբյուրների կարիք ունի։ Դուք կարող եք բարելավել հոդվածը՝ գտնելով բերված տեղեկությունների հաստատումը վստահելի աղբյուրներում և ավելացնելով դրանց հղումները հոդվածին։ Անհիմն հղումները ենթակա են հեռացման։

Հերոնի բանաձևը թույլ է տալիս որոշել եռանկյան մակերեսը (S) երեք կողմերի (a, b, c) միջոցով։

${\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},}$

որտեղ p-ն եռանկյան կիսապարագիծն է՝ ${\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}}$.

Ապացույց.

${\displaystyle S={1 \over 2}ab\cdot \sin {\gamma }}$,

որտեղ ${\displaystyle \ \gamma }$՝ եռանկյան a և b կողմերով կազմված անկյունն է։ Կոսինուսների թեորեմի համաձայն՝

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma ,}$

Այստեղից՝

${\displaystyle \cos \gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} \over 2ab},}$

Ուրեմն

${\displaystyle \ \sin ^{2}\gamma =1-\cos ^{2}\gamma =(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )=}$

${\displaystyle ={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} \over 2ab}\cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}} \over 2ab}=}$

${\displaystyle ={{c^{2}-(a-b)^{2}} \over 2ab}\cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} \over 2ab}={1 \over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}$.

Նկատելով, որ ${\displaystyle a+b+c=2p}$, ${\displaystyle a+b-c=2p-2c}$, ${\displaystyle a+c-b=2p-2b}$, ${\displaystyle c-a+b=2p-2a}$, ստանում ենք՝

${\displaystyle \sin \gamma ={2 \over ab}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.}$

Այսպիսով

${\displaystyle S={1 \over 2}ab\sin \gamma ={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},}$

Տես նաև

• Եռանկյուն
• Մակերես
• Պարագիծ
• Կոսինուսների թեորեմ
• Հերոն Ալեքսանդրիացի

Արտաքին հղումներ

• Եռանկյան մակերեսը Արխիվացված 2016-03-05 Wayback Machine

Սա երկրաչափության մասին մասին անավարտ հոդված է։ Դուք կարող եք օգնել Վիքիպեդիային՝ ուղղելով և լրացնելով այն։

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Հերոնի բանաձև» հոդվածին։

Բառարաններ և հանրագիտարաններ Մեծ նորվեգական Չափորոշչային վերահսկողություն Microsoft: 15901829

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 6, էջ 382)։