Квадрат

Квадрат
	Правилен четириаголник
Вид	правилен многуаголник
Рабови и темиња	4
Шлефлиев симбол	{4}
Коксетер–Динкинови дијаграми	;
Група на симетрија	диедарска (D4), ред 2×4
Внатрешен агол	90°
Својства	испакнат, впишан, рамностран, изогонален, изотоксален

Квадрат — рамна геометриска фигура со четири еднакви страни и четири прави агли.

Формално, квадрат се дефинира како паралелограм со две соседни складни страни и еден внатрешен прав агол.
- квадрат е паралелограм според дефиниција, па следува дека спротивни страни и агли се складни, а соседни агли се суплементни. (Види паралелограм.)
- квадрат е ромб бидејќи две соседни складни страни значи 4-те страни се складни. (Види ромб.)
- квадрат е правоаголник бидејќи еден внатрешен прав агол значи 4-те внатрешни агли се по 90°. (Види правоаголник.)
Квадрат е правилен многуаголник бидејќи сите 4 страни се складни (рамностран) и сите 4 агли се складни (рамноаголен).

Основна регулатива: Квадрат е потполно определeн со должината на страна. Исто така, квадрат е потполно определен со должината на дијагоналата.

Формули и особини за квадрат

Нека е даден квадрат со страна a. Во долунаведените формули точката означува множење, т.е. a · a = a × a.

Периметар

L=4\cdot a

</mod>

Плоштина

P=a\cdot a=a^{2}

Дијагонала

Дијагоналите на квадрат се исти и

d=a\cdot {\sqrt {2}}

Доказ: Со Питагорова теорема.

a^{2}+a^{2}=d^{2}\,\,\Rightarrow \,\,2a^{2}=d^{2}\,\,\Rightarrow \,\,d={\sqrt {2a^{2}}}\,\,\Rightarrow \,\,d=a\cdot {\sqrt {2}}

Следува и од формулите за дијагоналите на паралелограм бидејќи α=90° така што cos(α)=cos(90°)=0 и b=a.

(Види и степенување, коренување и тригонометрија).

Пример: Нека е даден квадрат со страна a=5 км. Тогаш, периметарот e L=4·a=4·5 км=20 км. Плоштината е P=a·a=5 км·5 км=25 км² (квадратни километри). Дијагоналите се складни и: d=5 км·√2 ≈7,07 км.

Пример: Нека е даден квадрат со дијагонала d=14,14mm. Тогаш страната на квадратот е a=^14,14mm/_√2=10mm. Перимeтарот е L=4·a=4·10mm=40mm, а плоштината е P=a·a=10mm·10mm=100mm².


Квадрат има 4 еднакви страни и 4 прави агли.	Дијагоналите се сечат под прав агол.	Дијагоналите ги преполовуваат аглите (на 45°).	Дијагоналите и средните линии се оски на осна симетрија.

Дијагоналите се складни.	Дијагоналите се преполовуваат.	Впишана кружница на квадрат.	Опишана кружница на квадрат.

Бидејќи секој квадрат е четириаголник, збирот на внатрешните агли е 360°.
Бидејќи секој квадрат има спротивни паралелни страни, отсечките кои ги спојуваат средните точки на спротивните паралелни страни врват низ пресекот на дијагоналите.
Бидејќи секој квадрат е паралелограм, дијагоналите се преполовуваат.
Бидејќи секој квадрат е ромб, дијагоналите се сечат под прав агол и дијагоналите ги преполовуваат внатрешните агли (така што се по ^90°/₂=45°).
Бидејќи секој квадрат е правоаголник, дијагоналите се складни (со истата должина).

Одлики на квадрат

Четириаголник е квадрат ако и само ако кој било од следните искази е вистинит:

Четирите страни се со еднакви должини и четирите внатрешни агли се по 90°.
Дијагоналите се со еднакви должини и се сечат под прав агол (90°).
Дијагоналите го делат четириаголникот на 4 складни рамнокраки триаголници.

Потаму квадрат е:

Паралелограм со еден прав агол и два напоредни (соседни) складни страни.
Правоаголник со два напоредни складни страни.
Ромб со еден прав агол.
Ромб со 4 складни агли.

Конструкција на квадрат во опишана кружница

Впишана и опишана кружница на квадрат

Квадрат е тангентен четириаголник, т.е. има впишана кружница таква да сите четири страни на квадратот се тангенти на кружницата.

Доказ: Еден потребен и доволен услов за еден испакнат четириаголник да е тангентен четириаголник е да збирот на должините на двата парови спротивни страни е ист. Значи квадрат е тангентен четириаголници.

Формула: Полупречникот r на впишаната кружница е половина од страната а (на квадратот), односно

r={\frac {a}{2}}

Квадрат е тетивен четириаголник, т.е. има опишана кружница таква да сите четири темиња на квадратот се точки на кружницата.

Доказ: Еден потребен и доволен услов за еден испакнат четириаголник да е тетивен четириаголник е да збирот на спротивни агли бидат 180°. Значи квадрат е тетивен четириаголник.

Формула: Полупречникот R на опишаната кружница е половина од дијагоналата d (на квадратот), односно

R={\frac {d}{2}}={\frac {a{\sqrt {2}}}{2}}

Квадратот е бицентричен четириаголник, бидејќи e и тангентен и тетивен.

Симетрија

Квадратот има 4 оски на осна симетрија, односно двете дијагонали и двете средни линии (отсечките кои ги поврзуваат средните точки на спротивни страни).
Квадратот има вртежна симетрија од 4-ти ред, т.е. ако го ротираме квадратот ^360°/₄=90° се добива истиот квадрат.

Други факти

Дијагоналите на квадрат се $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ (приближно 1,414) пати поголеми од страната на квадратот. Оваа вредност, т.е. квадратен корен од 2 се вика Питагорова константа и првиот број да е докажен дека е ирационален, т.е. не е рационален број.
Ако геометриска фигура е и правоаголник (прави агли) и ромб (4 складни страни), тогаш е квадрат.
Плоштината на опишаната кружница е ^π/₂ (приближно 1,571) пати поголема од плоштината на квадратот.
Плоштината на впишаната кружница е ^π/₄ (приближно 0,7854) пати помал од плоштината на квадратот.
Квадрат има поголема плоштина од кој било четириаголник со истиот периметар.

Обопштување на квадрат

Обопштување во 3Д: Коцка е полиедар со 6 страни, секоја страна е квадрат.

Неeвклидова геометрија

Во неeвклидова геометрија, квадрати се општи многуаголници со 4 складни страни и 4 складни агли.

Во сферна геометрија, квадрат е многуаголник чии страни се рамнодолжни лакови од големи кругови, кои се споени на секое теме со складни агли. За разлика од Евклидовата геометрија во рамнина, аглите на таков квадрат се поголеми од 90°.

Во хиперболна геометрија, квадрати со прави агли не постојат. Напротив, квадратите во хиперболична геометрија имаат агли кои се помали од 90°.

Примери:

Сфера може плочесто да се нареди со 6 квадрати така што секое теме е теме на 3 квадрати со внатрешни агли од 120°. Шлефлиев симбол е {4,3}.	Евклидовата рамнина може плочесто да се нареди со квадрати така што секое теме е теме на 4 квадрати со внатрешни агли од 90°. Шлефлиев симбол е {4,4}.	Хиперболична рамнина може плочесто да се нареди со квадрати така што секое теме е теме на 5 квадрати со внатрешни агли од 72°. Шлефлиев симбол е {4,5}.

Наводи

↑ Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 744. Посетено на 1 септември 2013.
↑ „Квадрат“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
↑ Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2006). Mathematical Olympiad Treasures. Birkhäuser. стр. 64–68. ISBN 978-0817682521..
↑ Usiskin, Zalman; Griffin, Jennifer; Witonsky, David; Willmore, Edwin (2008), „10. Cyclic quadrilaterals“, The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition, Research in mathematics education, IAP, стр. 63–65, ISBN 978-1-59311-695-8
↑ Stapel, Elizabeth. „"Symmetry about an Axis"“ (англиски). Посетено на 1 септември 2013. анимиран
↑ Weisstein, Eric W. „Pythagoras's Constant“ (англиски). MathWorld--A Wolfram Web Resource. Посетено на 1 септември 2013.
↑ Hansen, V.L. (1996). „I am the greatest“ (англиски). Mathematics in School Vol.25, No.4. стр. 10–11. Посетено на 1 септември 2013.

Поврзани теми

Надворешни врски

Стојановска, Л. (2010). „Квадрат“. Архивирано од изворникот на 2013-09-16. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод) (2013). „Геогебра алатка: Правилен многуаголник“. Посетено на 1 септември 2013.
Bart, Anneke; Clair, Bryan (2011). „Introduction to Non-Euclidean Geometry“ (англиски). EscherMath, St. Louis University. Посетено на 1 септември 2013.

[Oxford-1] Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 744. Посетено на 1 септември 2013.

[2] „Квадрат“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен

[Andreescu-3] Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2006). Mathematical Olympiad Treasures. Birkhäuser. стр. 64–68. ISBN 978-0817682521..

[Usiskin-4] Usiskin, Zalman; Griffin, Jennifer; Witonsky, David; Willmore, Edwin (2008), „10. Cyclic quadrilaterals“, The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition, Research in mathematics education, IAP, стр. 63–65, ISBN 978-1-59311-695-8

[5] Stapel, Elizabeth. „"Symmetry about an Axis"“ (англиски). Посетено на 1 септември 2013. анимиран

[6] Weisstein, Eric W. „Pythagoras's Constant“ (англиски). MathWorld--A Wolfram Web Resource. Посетено на 1 септември 2013.

[7] Hansen, V.L. (1996). „I am the greatest“ (англиски). Mathematics in School Vol.25, No.4. стр. 10–11. Посетено на 1 септември 2013.