No artigo de hoje vamos nos aprofundar no emocionante mundo de Divisão. Quer você seja um especialista na área ou apenas curioso para saber mais, este artigo é para todos. Exploraremos os diferentes aspectos e perspectivas relacionadas a Divisão, desde sua história até sua aplicação hoje. Descobriremos seus possíveis benefícios, desafios e áreas de controvérsia, para que ao final da leitura você tenha uma compreensão mais completa e enriquecedora de Divisão. Não perca esta oportunidade de ampliar seu conhecimento sobre Divisão!
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Divisão é a operação matemática inversa da multiplicação. O ato de dividir por algum elemento de um conjunto só faz sentido quando a multiplicação por aquele elemento for uma função bijetora.
No anel dos números inteiros a hipótese da bijetividade não é satisfeita para o zero, assim, não se define divisão por zero.
As propriedades da divisão são herdadas, via inversão, da multiplicação. Não existe, entretanto, a propriedade de fechamento no conjunto dos números reais, uma vez que a divisão por zero não produz como resultado um número real.
Os números inteiros não formam um corpo, portanto a divisão (como foi definido) só faz sentido quando o número que vai ser dividido (dividendo) é um múltiplo inteiro do número pelo qual se vai dividir (divisor). Para tratar dos casos em que o dividendo não é um múltiplo do divisor é necessário definir quociente e resto.
Se a e b são dois números inteiros positivos (com ), o quociente da divisão de a por b é o maior número inteiro q tal que . O resto da divisão de a por b com quociente q é o número inteiro r tal que
A noção de resto no anel dos números inteiros está intimamente conectada com a noção de congruência.
Por se tratarem de corpos, a divisão nesse caso fica reduzida a multiplicação pelo inverso.
Por um exemplo, para dividirmos um número racional por (com as hipóteses de que a,b,c e d sejam inteiros e que b,c e d sejam diferentes de zero) devemos prosseguir da seguinte forma
Em (grupo multiplicativo dos inteiros módulo 13), que também é um corpo, a divisão de 7 por 5 se daria da seguinte forma:
Pode-se definir a operação de divisão para polinômios. Então, como no caso dos inteiros, tem-se um resto. Veja divisão polinomial.
A divisão é possível em estruturas que não são dotadas dos axiomas de corpo. Em analogia ao caso dos números inteiros, tenta-se encontrar um quociente e um resto. Isso nem sempre pode ser feito com o auxílio da relação de ordem, pois a mesma nem sempre está presente. Quando pode-se definir uma função conveniente, trabalhamos com domínios euclidianos.
Sejam a e b elementos do conjunto dos números inteiros, e b diferente de zero. Podemos representar uma divisão da seguinte forma:
Divisão de números consecutivos
Seja o número impar e o seu consecutivo .
Seja a divisão . Esta divisão apresenta as duas peculiaridade a seguir :
a - O quociente é menor do que e tende para com o aumento de , então
b - Na imensa maioria das proposições o quociente apresenta infinitos algarismos após a virgula decimal.
Seja a divisão . Esta divisão apresenta as duas peculiaridade a seguir:
a - O quociente é maior do que e tende para com o aumento de , então
b - Na imensa maioria das proposições o quociente apresenta infinitos algarismos após a virgula decimal.
Entretanto
Em nenhuma das proposições para ocorre com estes números consecutivos, de o quociente apresentar em ambas proposições os dois quocientes com números finitos de algarismos após a virgula decimal.