Teorema de Herão

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A fórmula tradicional de cálculo da área do triângulo, ensinada e muito utilizada no ensino fundamental é ${\displaystyle A=\left({\frac {{\text{base}}\cdot {\text{altura}}}{2}}\right).}$ Entretanto, outras fórmulas foram desenvolvidas para realizar este cálculo. Uma delas é a fórmula de Herão (ou de Heron), que dá a área do triângulo em função da medida dos três lados do triângulo. O nome faz referência ao matemático grego Herão de Alexandria.

A fórmula

A fórmula é: ${\displaystyle A={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},}$ em que ${\displaystyle p}$ representa o semiperímetro do triângulo e ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c}$ são os comprimentos dos 3 lados do triângulo.

Exemplo

Um triângulo cujos lados medem 3, 25 e 26, respectivamente, tem semiperímetro (3 + 25 + 26)/2 = 27. Assim, a sua área é ${\displaystyle A={\sqrt {27\cdot 24\cdot 2\cdot 1}}=36.}$

Demonstração

Seja ${\displaystyle b}$ a base do triângulo e ${\displaystyle h}$ a sua altura. A área do triângulo é ${\displaystyle A={\frac {bh}{2}}.}$

Pela Lei dos cossenos, ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C=a^{2}+b^{2}-2b{\sqrt {a^{2}-h^{2}}},}$ logo ${\displaystyle h^{2}=a^{2}-\left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2b}}\right)^{2}.}$ Assim,

${\displaystyle {\begin{matrix}A^{2}&=&{\frac {b^{2}h^{2}}{4}}={\frac {b^{2}\left(a^{2}-\left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2b}}\right)^{2}\right)}{4}}={\frac {(2ab)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}{16}}={\frac {(2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2}))(2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2}))}{16}}=\\\\&=&{\frac {(c^{2}-(a-b)^{2})((a+b)^{2}-c^{2})}{16}}={\frac {(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}{16}}=(s-a)(s-b)(s-c)s\\\end{matrix}}}$

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