Множество однородных призм | ||
---|---|---|
| ||
Тип | Однородный многогранник | |
Свойства |
вершинно транзитивный выпуклый многогранник |
|
Комбинаторика | ||
Элементы |
|
|
Грани |
Всего - 2+n 2{n} n {4} |
|
Конфигурация вершины | 4.4.n | |
Двойственный многогранник | Бипирамида | |
Классификация | ||
Символ Шлефли | {n}×{} or t{2, n} | |
Диаграмма Дынкина | ||
Группа симметрии | Dnh , , (*n22), порядок 4n | |
Медиафайлы на Викискладе |
При́зма (-угольная) (лат. prisma от др.-греч. πρίσμα «нечто отпиленное») — многогранник, две грани которого являются конгруэнтными (равными) многоугольниками (-угольниками), лежащими в параллельных плоскостях, а остальные граней — параллелограммы, имеющие общие стороны с этими многоугольниками.
Эти параллелограммы называются боковыми гранями призмы, а оставшиеся два многоугольника называются её основаниями.
Многоугольник, лежащий в основании, определяет название призмы: треугольник — треугольная призма, четырёхугольник — четырёхугольная; пятиугольник — пятиугольная (пентапризма) и т. д.
Призма является частным случаем цилиндра в общем смысле (некругового).
Название | Определение | Обозначения на чертеже | Чертеж |
Основания | Две грани, являющиеся конгруэнтными многоугольниками, лежащими в параллельных друг другу плоскостях. | , | |
Боковые грани | Все грани, кроме оснований. Каждая боковая грань обязательно является параллелограммом. | , , , , | |
Боковая поверхность | Объединение боковых граней. | ||
Полная поверхность | Объединение оснований и боковой поверхности. | ||
Боковые рёбра | Общие стороны боковых граней. | , , , , | |
Высота | Отрезок, соединяющий плоскости, в которых лежат основания призмы и перпендикулярный этим плоскостям. | ||
Диагональ | Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани. | ||
Диагональная плоскость | Плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания. | ||
Диагональное сечение | Пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении образуется параллелограмм, в том числе его частные случаи — ромб, прямоугольник, квадрат. | ||
Перпендикулярное (ортогональное) сечение | Пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной её боковому ребру. |
Прямая призма — это призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания, откуда следует, что все боковые грани являются прямоугольниками.
Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники.
Наклонными называются призмы, рёбра которых не перпендикулярны плоскости основания.
Усечённая призма — многогранник, который отсекается от призмы непараллельной основанию плоскостью. Усечённая призма сама призмой не является.
Треугольная призма |
4-угольная призма |
5-угольная призма |
6-угольная призма |
7-угольная призма |
8-угольная призма |
Группой симметрии прямой -угольной призмы с правильным основанием является группа Dnh порядка 4n, за исключением куба, который имеет группу симметрии Oh порядка 48, содержащую три версии D4h в качестве подгрупп. Группой вращений является Dn порядка 2n, за исключением случая куба, для которого группой вращений является группа O порядка 24, имеющая три версии D4 в качестве подгрупп.
Группа симметрии Dnh включает центральную симметрию в том и только в том случае, когда n чётно.
Призматический многогранник — это обобщение призмы в пространствах размерности 4 и выше. -мерный призматический многогранник конструируется из двух (n − 1)-мерных многогранников, перенесённых в следующую размерность.
Элементы призматического n-мерного многогранника удваиваются из элементов (n − 1)-мерного многогранника, затем создаются новые элементы следующего уровня.
Возьмём -мерный многогранник с элементами (i-мерная грань, i = 0, …, n). Призматический ()-мерный многогранник будет иметь элементов размерности i (при , ).
По размерностям:
Правильный -многогранник, представленный символом Шлефли {p, q, ..., t}, может образовать однородный призматический многогранник размерности (n + 1), представленный прямым произведением двух символов Шлефли: {p, q, ..., t}×{}.
По размерностям:
Призматические многогранники более высоких размерностей также существуют как прямые произведения двух любых многогранников. Размерность призматического многогранника равна произведению размерностей элементов произведения. Первый пример такого произведения существует в 4-мерном пространстве и называется дуопризмами, которые получаются произведением двух многоугольников. Правильные дуопризмы представляются символом {p}×{q}.
Многоугольник | ||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Мозаика | ||||||||||||
Конфигурация | 3.4.4 | 4.4.4 | 5.4.4 | 6.4.4 | 7.4.4 | 8.4.4 | 9.4.4 | 10.4.4 | 11.4.4 | 12.4.4 | 17.4.4 | ∞.4.4 |
Скрученная призма — это невыпуклый призматический многогранник, полученный из однородной q-угольной путём деления боковых граней диагональю и вращения верхнего основания, обычно на угол радиан ( градусов), в направлении, при котором стороны становятся вогнутыми.
Скрученная призма не может быть разбита на тетраэдры без введения новых вершин. Простейший пример с треугольными основаниями называется многогранником Шёнхардта.
Скрученная призма топологически идентична антипризме, но имеет половину симметрий: Dn, +, порядка 2n. Эту призму можно рассматривать как выпуклую антипризму, у которой удалены тетраэдры между парами треугольников.
Треугольная | Четырёхугольные | 12-угольная | |
---|---|---|---|
Многогранник Шёнхардта |
Скрученная квадратная антипризма |
Квадратная антипризма |
Скрученная двенадцатиугольная антипризма |
Многоугольник | ||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Мозаика | ||||||||||||
Конфигурация | 3.4.4 | 4.4.4 | 5.4.4 | 6.4.4 | 7.4.4 | 8.4.4 | 9.4.4 | 10.4.4 | 11.4.4 | 12.4.4 | 17.4.4 | ∞.4.4 |
n | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
---|---|---|---|---|---|
Название | {2} || t{2} | {3} || t{3} | {4} || t{4} | {5} || t{5} | {6} || t{6} |
Купол | Диагональный купол |
Трёхскатный купол |
Четырёхскатный купол |
Пятискатный купол |
Шестискатный купол (плоский) |
Связанные однородные многогранники |
Треугольная призма |
Кубооктаэдр |
Ромбокубо- октаэдр |
Ромбоикосо- додекаэдр |
Ромботри- шестиугольная мозаика |
Призмы топологически являются частью последовательности однородных усечённых многогранников с конфигурациями вершин (3.2n.2n) и .
Варианты симметрии *n32 усечённых мозаик: 3.2n.2n | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия *n32 |
Сферическая | Евклидова | Компактная гиперболич. | Параком- пактная |
Некомпактная гиперболич. | ||||||
*232 |
*332 |
*432 |
*532 |
*632 |
*732 |
*832 ... |
*∞32 |
||||
Усечённые фигуры |
|||||||||||
Конфигурация | 3.4.4 | 3.6.6 | 3.8.8 | 3.10.10 | 3.12.12 | 3.14.14 | 3.16.16 | 3.∞.∞ | 3.24i.24i | 3.18i.18i | 3.12i.12i |
Разделённые фигуры |
|||||||||||
Конфигурация | V3.4.4 | V3.6.6 | V3.8.8 | V3.10.10 | V3.12.12 | V3.14.14 | V3.16.16 | V3.∞.∞ |
Призмы топологически являются частью последовательности скошенных многогранников с вершинными фигурами (3.4.n.4) и мозаик на гиперболической плоскости. Эти вершинно транзитивные фигуры имеют (*n32) зеркальную симметрию .
Варианты симметрии *n42 расширенных мозаик: 3.4.n.4 | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия *n32 |
Сферическая | Евклидова | Компактная гиперболическая |
Паракомпактная | ||||
*232 |
*332 |
*432 |
*532 |
*632 |
*732 |
*832 ... |
*∞32 | |
Фигура | ||||||||
Конфигурация | 3.4.2.4 | 3.4.3.4 | 3.4.4.4 | 3.4.5.4 | 3.4.6.4 | 3.4.7.4 | 3.4.8.4 | 3.4.∞.4 |
Существует 4 однородных соединения треугольных призм:
Существует 9 однородных сот, включающих ячейки в виде треугольных призм:
Треугольная призма является первым многогранником в ряду полуправильных многогранников . Каждый последующий однородный многогранник содержит в качестве вершинной фигуры предыдущий многогранник. Торольд Госсет идентифицировал эту серию в 1900 как содержащую все фасеты правильных многомерных многогранников, все симплексы и ортоплексы (правильные треугольники и квадраты для случая треугольных призм). В нотации Коксетера треугольная призма задаётся символом −121.
k21 в пространстве размерности n | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Пространство | Конечное | Евклидово | Гиперболическое | ||||||||
En | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
Группа Коксетера |
E₃=A₂A₁ | E₄=A₄ | E₅=D₅ | E₆ | E₇ | E₈ | E₉ = Ẽ₈ = E₈+ | E₁₀ = T₈ = E₈++ | |||
Диаграмма Коксетера |
|||||||||||
Симметрия | |||||||||||
Порядок | 12 | 120 | 192 | 51 840 | 2 903 040 | 696 729 600 | ∞ | ||||
Граф | - | - | |||||||||
Обозначение | −121 | 021 | 121 | 221 | 321 | 421 | 521 | 621 |
Треугольная призма служит ячейкой во множестве четырёхмерных однородных 4-мерных многогранников , включая:
Для улучшения этой статьи желательно:
|