Den här artikeln kommer att ta upp ämnet Kurvintegral, som har fått relevans de senaste åren på grund av dess inverkan på olika aspekter av samhället. Olika perspektiv relaterade till Kurvintegral kommer att utforskas, från dess ursprung till dess inflytande idag. Vikten av att förstå och analysera Kurvintegral kommer att undersökas för att bättre förstå dess betydelse i dagens värld. Dessutom kommer de utmaningar och möjligheter som Kurvintegral innebär att diskuteras, samt de möjliga lösningar som uppstår för att möta de utmaningar det representerar. Kort sagt, den här artikeln syftar till att erbjuda en bred och berikande vision av Kurvintegral, med syftet att uppmuntra till reflektion och debatt kring detta ämne.
Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-08) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan. |
En kurvintegral, eller linjeintegral, är en integral för vilken evalueringen av integranden sker längs en kurva. Ett flertal olika kurvintegraler förekommer. Om kurvan är sluten kallas integralen även för konturintegral.
En kurvintegral är inom vektoranalysen en integral av ett skalär- eller vektorfält längs en kurva C. Om kurvan kan parametriseras med en funktion kan kurvintegralen definieras av
respektive
där högerleden är integraler av en variabel.
Om kurvan C är sluten kallas kurvintegralen cirkulationsintegral och betecknas
Stokes sats är ett samband mellan cirkulationsintegraler och ytintegraler.
Kurvintegralen är ett fundamentalt redskap inom komplex analys. Antag att U är en öppen delmängd av C, γ : → U är en kurva av ändlig längd och f : U → C är en funktion. Det går då att definiera kurvintegralen
genom att dela in intervallet i a = t0 < t1 < ... < tn = b och undersöka uttrycket
Integralen är gränsvärdet då avstånden mellan indelningspunkterna går mot noll.
Om γ är en kontinuerligt differentierbar kurva kan kurvintegralen beräknas som en integral av en funktion av en reell variabel:
När γ är en sluten kurva, det vill säga, dess start- och slutpunkter sammanfaller, används ofta notationen
för kurvintegralen av f längs γ.
Viktiga satser om kurvintegraler är Cauchys integralsats och Cauchys integralformel.
Den amerikanske fysikern Richard Feynman presenterade i sin doktorsavhandling en alternativ formulering av kvantmekaniken baserad på vägintegraler. Detta kom att kallas vägintegralformuleringen av kvantmekaniken eller funktionalformuleringen av kvantmekaniken.
Idén bygger på dubbelspaltsexperimentet vilket Feynman generaliserar genom att sätta fler väggar mellan partikelkällan och målet. Feynman gjorde tankeexperimentet att sätta dit oändligt många väggar och sedan göra dessa helt fyllda av hål. Då återstår bara strålkällan och målet, men partiklarna skall följa alla möjliga vägar mellan strålkällan och målet.
Resultatet är en kvantmekanisk version av verkansprincipen inom klassisk mekanik. Funktionalformuleringen innebär att partikelns bana är den för vilken integralen
är stationär med