Ämnet Stirlings formel har genererat stort intresse och debatt de senaste åren. Med motstridiga åsikter och olika ståndpunkter har Stirlings formel blivit en diskussionspunkt mellan experter och samhället i stort. I den här artikeln kommer vi att utforska olika aspekter av Stirlings formel, från dess ursprung till dess inverkan idag. Vi kommer att analysera de olika perspektiven som finns kring Stirlings formel, samt dess relevans inom olika områden. Dessutom kommer vi att undersöka hur Stirlings formel har utvecklats över tiden och vad dess framtida projektion är. Följ med oss på denna resa för att upptäcka allt du behöver veta om Stirlings formel!
Stirlings formel är en approximation för stora fakulteter, upptäckt av Abraham de Moivre, men namngiven efter James Stirling. Används exempelvis inom statistisk mekanik där n är av ordningen ∝1023, men även för n ≥ 5 ger den acceptabel noggrannhet. Formeln kan skrivas
vilket ofta uttrycks som
(Se limes, kvadratrot, π, e.) För stora n så är högerledet en god approximation för n! och går mycket snabbare och enklare att beräkna. För exempelvis 30! ger approximationen värdet 2,6451 · 1032 medan det verkliga värdet är 2,6525 · 1032.
Formeln kan även uttryckas som
eller om n >> ln n,
Genom att använda Stirlings formel kan man visa att
Konvergenshastigheten av ovanstående gränsvärde uttrycks med formeln
där Θ(1/n) betecknar funktionen vart asymptotiska beteende för n→∞ och motsvarar konstant tid 1/n; se Big O notation.
Eller mer exakt:
där
Formeln liksom dess feluppskattning kan härledas genom följande argument. Istället för att approximera n! kan den naturliga logaritmen ln(n!) = ln(1) + ln(2) + ... + ln(n) betraktas. Euler-Maclaurins formel uppskattar summor av dessa slag. Nästa steg är sedan att visa approximeringsformeln (i dess logaritmiska) form
(En mer informell härledning baseras på att byta ut summan med en integral: .)
Formeln upptäcktes först av Abraham de Moivre på formen
Stirlings bidrag till approximationen bestod i att visa att konstanten är .