எழும் தொடர்பெருக்கம்

கணிதத்தில், எழும் தொடர்பெருக்கம் அல்லது ஏறும் தொடர்பெருக்கம் (rising factorial) என்பது x -லிருந்து தொடங்கி தொடர்ந்து வரும் அடுத்தடுத்த n எண் காரணிகளின் பெருக்குத் தொகையைக் குறிக்கும். இங்கு n ஒரு குறையிலா முழு எண்ணாக இருத்தல் வேண்டும். அதாவது,

${\displaystyle x^{(n)}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1).}$ ஆகும்.

இக்கட்டுரையில் எழும் தொடர்பெருக்கத்தைக் குறிக்க, x⁽ⁿ⁾ என்ற குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது. எழும் தொடர் பெருக்கமானது போக்கம்மர் சார்பு அல்லது போக்கம்மர் பல்லுறுப்புக்கோவை அல்லது ஏறும் தொடர்பெருக்கம் எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

முதல் எழும் தொடர்பெருக்கங்கள் சில:

${\displaystyle x^{(0)}=1\,}$

${\displaystyle x^{(1)}=x\,}$

${\displaystyle x^{(2)}=x(x+1)=x^{2}+x\,}$

${\displaystyle x^{(3)}=x(x+1)(x+2)=x^{3}+3x^{2}+2x\,}$

${\displaystyle x^{(4)}=x(x+1)(x+2)(x+3)=x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x\,}$

பண்புகள்

சாதாரண தொடர்பெருக்கத்தை எழும் தொடர்பெருக்கம் மூலமாக பின்வருமாறு எழுதலாம்:

${\displaystyle n!=1^{(n)}\,}$

ஒரு ஈருறுப்புக் கெழுவை எழும் தொடர்பெருக்கத்தின் மூலம் எழுதலாம்.

${\displaystyle {\frac {x^{(n)}}{n!}}={x+n-1 \choose n}}$

இதனால் ஈருறுப்புக் கெழுக்களுடைய பல முற்றொருமைகளில் எழும் தொடர்பெருக்கம் காணப்படுகிறது.

எழும் தொடர்பெருக்கத்தை வீழும் தொடர்பெருக்கத்தின் மூலம் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

${\displaystyle x^{(n)}={(x+n-1)}_{n}.}$

இவ்விரண்டு தொடர்பெருக்கங்களுக்கு இடையேயுள்ள தொடர்பு:

${\displaystyle {(-x)}^{(n)}={(-1)}^{n}{(x)}_{n}.}$

ஒரு எழும் தொடர்பெருக்கம் எந்தவொரு வளையத்திலும் நன்கு வரையறுக்கப்படும் என்பதால், x -ஐ ஒரு கலப்பெண் (எதிர்ம முழுஎண்கள் உட்பட) அல்லது கலப்பெண் கெழுக்களுடைய பல்லுறுப்புக்கோவை அல்லது கலப்பெண் மதிப்புடைய சார்பு எனக் கொள்ளலாம்.

காமா சார்பை பயன்படுத்தி எழும் தொடர்பெருக்கத்தை n -ன் மெய்யெண் மதிப்புகளுக்கும் நீட்டிக்கலாம். இதற்கு x மற்றும் x + n இரண்டும் எதிர்ம முழு எண்களற்ற கலப்பெண்களாக இருக்க வேண்டும்.

${\displaystyle x^{(n)}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}},}$

மாற்றுக் குறியீடு

ரொனால்ட் எல். கிரஹாம், டோனால்ட் இர்வின் நுத் மற்றும் ஓரென் ஃப்டாஷினிக் ஆகியோர் எழுதிய கான்கிரீட் மேத்தமெட்டிக்ஸ் புத்தகத்தில் எழும் தொடர்பெருக்கத்திற்கு வேறொரு குறியீடு தரப்பட்டுள்ளது.

இதன்படி எழும் தொடர்பெருக்கம்:

${\displaystyle x^{\overline {m}}=\overbrace {x(x+1)\ldots (x+m-1)} ^{m~\mathrm {factors} }\qquad {\mbox{for integer }}m\geq 0,}$

மற்றுமொரு குறியீடு: (x)⁺_n.

இவற்றையும் பார்க்க

• வீழும் தொடர்பெருக்கம்

குறிப்பு

மேற்கோள்கள்

• Olver, Peter J. (1999), Classical Invariant Theory, Cambridge University Press, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-521-55821-2.

வெளி இணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W., "Pochhammer Symbol", MathWorld.
• Elementary Proofs பரணிடப்பட்டது 2016-02-14 at the வந்தவழி இயந்திரம்