Einstein ilişkisi (kinetik teori)

Fizikte (özellikle gazların kinetik teorisinde) Einstein ilişkisi; 1904'te William Sutherland'in, 1905'te Albert Einstein'ın ve 1906'da Marian Smoluchowski'nin Brown hareketi üzerine yaptıkları çalışmalarında bağımsız olarak ortaya koydukları önceden beklenmedik bir bağlantıdır. Denklemin daha genel biçimi:

${\displaystyle D=\mu \,k_{\text{B}}T,}$

burada;

D difüzyon katsayısıdır;

μ, "hareketlilik" veya parçacığın terminal sürüklenme hızının uygulanan bir kuvvete oranıdır, μ = v_d/F;

k_B, Boltzmann sabitidir;

T mutlak sıcaklıktır.

Bu denklem, bir dalgalanma-dağılım teoreminin erken bir örneğidir.

İlişkinin sık kullanılan iki önemli özel biçimi şunlardır:

${\displaystyle D={\frac {\mu _{q}\,k_{\text{B}}T}{q}}}$ (elektriksel hareketlilik denklemi, yüklü parçacıkların difüzyonu için

${\displaystyle D={\frac {k_{\text{B}}T}{6\pi \,\eta \,r}}}$ (Stokes-Einstein denklemi, küresel parçacıkların düşük Reynolds sayılı bir sıvıdan difüzyonu için)

burada;

q, bir parçacığın elektrik yüküdür;

μ_q, yüklü parçacığın elektriksel hareketliliğidir;

η dinamik viskozitedir;

r, küresel parçacığın yarıçapıdır.

Özel durumlar

Elektriksel hareketlilik denklemi

Elektrik yükü q olan bir parçacık için, elektriksel hareketliliği μ_q, genelleştirilmiş hareketliliği μ ile μ = μ_q/q denklemiyle ilişkilidir. μ_q parametresi, parçacığın terminal sürüklenme hızının uygulanan bir elektrik alanına oranıdır. Bu nedenle, yüklü bir parçacık durumunda denklem şu şekilde verilir:

${\displaystyle D={\frac {\mu _{q}\,k_{\text{B}}T}{q}},}$

burada;

• ${\displaystyle D}$ difüzyon katsayısıdır (${\displaystyle \mathrm {m^{2}s^{-1}} }$).
• ${\displaystyle \mu _{q}}$ elektriksel hareketliliktir (${\displaystyle \mathrm {m^{2}V^{-1}s^{-1}} }$).
• ${\displaystyle q}$ parçacığın elektrik yüküdür (C, coulomb)
• ${\displaystyle T}$ plazmadaki elektron sıcaklığı veya iyon sıcaklığıdır (K).

Sıcaklık, plazma için daha yaygın olan Volt cinsinden verilirse:

${\displaystyle D={\frac {\mu _{q}\,T}{Z}},}$

burada;

• ${\displaystyle Z}$ parçacığın yük sayısıdır (birimsiz)
• ${\displaystyle T}$ plazmadaki elektron sıcaklığı veya iyon sıcaklığıdır (V).

Stokes-Einstein denklemi

Düşük Reynolds sayısı sınırında; hareketlilik μ, sürtünme katsayısı ${\displaystyle \zeta }$'nın tersidir. Yayılan nesnenin ters momentum gevşeme süresi (atalet momentumunun rastgele momente kıyasla ihmal edilebilir hale gelmesi için gereken süre) için bir sönüm sabiti ${\displaystyle \gamma =\zeta /m}$ sıklıkla kullanılır. Yarıçapı r olan küresel parçacıklar için Stokes yasası:

${\displaystyle \zeta =6\pi \,\eta \,r,}$

burada ${\displaystyle \eta }$ ortamın viskozitesidir. Böylece Einstein-Smoluchowski ilişkisi Stokes-Einstein ilişkisi ile sonuçlanır:

${\displaystyle D={\frac {k_{\text{B}}T}{6\pi \,\eta \,r}}.}$

Bu, sıvılarda öz-difüzyon katsayısını tahmin etmek için uzun yıllar boyunca uygulandı ve izomorf teorisi ile tutarlı bir versiyon, Lennard-Jones sisteminin bilgisayar simülasyonları ile doğrulandı.

Dönel difüzyon durumunda, sürtünme ${\displaystyle \zeta _{\text{r}}=8\pi \eta r^{3}}$ ve rotasyonel difüzyon sabiti ${\displaystyle D_{\text{r}}}$:

${\displaystyle D_{\text{r}}={\frac {k_{\text{B}}T}{8\pi \,\eta \,r^{3}}}.}$

Yarı iletken

Rastgele bir durum yoğunluğuna sahip bir yarı iletkende, yani deliklerin veya elektronların yoğunluğu ${\displaystyle p}$ ve karşılık gelen yarı Fermi seviyesi (veya elektrokimyasal potansiyel) ${\displaystyle \varphi }$ arasındaki ${\displaystyle p=p(\varphi )}$ formunun bir ilişkisi, Einstein ilişkisi şöyledir:

${\displaystyle D={\frac {\mu _{q}p}{q{\frac {dp}{d\varphi }}}},}$

burada ${\displaystyle \mu _{q}}$ elektriksel hareketliliktir. Durumların yoğunluğu için parabolik bir dağılım ilişkisini varsayan bir örnek ve genellikle inorganik yarı iletken malzemeleri tanımlamak için kullanılan Maxwell-Boltzmann istatistikleri hesaplanabilir:

${\displaystyle p(\varphi )=N_{0}e^{\frac {q\varphi }{k_{\text{B}}T}},}$

burada${\displaystyle N_{0}}$ ${\displaystyle N_{0}}$, basitleştirilmiş ilişkiyi veren mevcut enerji durumlarının toplam yoğunluğudur:

${\displaystyle D=\mu _{q}{\frac {k_{\text{B}}T}{q}}.}$

Nernst-Einstein denklemi

Bir elektrolitin eşdeğer iletkenliğinin ifadelerinden katyonların ve anyonların elektrik iyonik hareketlilik ifadelerindeki difüziviteleri değiştirerek, Nernst-Einstein denklemi türetilir:

${\displaystyle \Lambda _{e}={\frac {z_{i}^{2}F^{2}}{RT}}(D_{+}+D_{-}).}$

Genel durumun kanıtı

Einstein ilişkisinin kanıtı birçok referansta bulunabilir, örneğin bkz. Kubo.

Bazı sabit, harici potansiyel enerji ${\displaystyle U}$'nun, belirli bir ${\displaystyle \mathbf {x} }$ konumunda bulunan bir parçacık üzerinde korunumlu bir ${\displaystyle F(\mathbf {x} )=-\nabla U(\mathbf {x} )}$ kuvveti (örneğin, bir elektrik kuvveti) oluşturduğunu varsayalım. Parçacığın ${\displaystyle v(\mathbf {x} )=\mu (\mathbf {x} )F(\mathbf {x} )}$ hızıyla hareket ederek tepki vereceğini varsayıyoruz. Şimdi konumun bir fonksiyonu olarak yerel derişim ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )}$ olan çok sayıda böyle parçacık olduğunu varsayalım. Bir süre sonra denge kurulacaktır: parçacıklar en düşük potansiyel enerji ${\displaystyle U}$'ya sahip alanların etrafında yığılacaktır, ancak yine de difüzyon nedeniyle bir dereceye kadar yayılacaktır. Dengede, parçacıkların net akışı yoktur: parçacıkların sürüklenme akımı olarak adlandırılan daha düşük ${\displaystyle U}$'ya doğru çekilme eğilimi, parçacıkların difüzyon nedeniyle yayılma eğilimini mükemmel bir şekilde dengeler ve buna difüzyon akımı denir (bkz. sürüklenme-difüzyon denklemi).

Sürüklenme akımı nedeniyle parçacıkların net akışı:

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {drift} }(\mathbf {x} )=\mu (\mathbf {x} )F(\mathbf {x} )\rho (\mathbf {x} )=-\rho (\mathbf {x} )\mu (\mathbf {x} )\nabla U(\mathbf {x} ),}$

yani, belirli bir konumdan geçen parçacıkların sayısı, parçacık konsantrasyonu çarpı ortalama hıza eşittir.

Difüzyon akımı nedeniyle parçacıkların akışı, Fick yasasına göre,

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {diffusion} }(\mathbf {x} )=-D(\mathbf {x} )\nabla \rho (\mathbf {x} ),}$

burada eksi işareti, parçacıkların daha yüksek derişimden daha düşük derişime aktığı anlamına gelir.

Şimdi denge durumunu düşünün. İlk olarak, net akış yoktur, yani ${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {drift} }+\mathbf {J} _{\mathrm {diffusion} }=0}$. İkincisi, etkileşmeyen nokta parçacıklar için, denge yoğunluğu ${\displaystyle \rho }$ yalnızca yerel potansiyel enerji ${\displaystyle U}$'nin bir fonksiyonudur, yani iki konum aynı ${\displaystyle U}$'ya sahipse, o zaman aynı ${\displaystyle \rho }$'ye de sahip olacaklardır (örneğin aşağıda tartışıldığı gibi Maxwell-Boltzmann istatistiklerine bakınız). Bunun anlamı, zincir kuralının uygulanması,

${\displaystyle \nabla \rho ={\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}\nabla U.}$

Bu nedenle, dengede:

${\displaystyle 0=\mathbf {J} _{\mathrm {drift} }+\mathbf {J} _{\mathrm {diffusion} }=-\mu \rho \nabla U-D\nabla \rho =\left(-\mu \rho -D{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}\right)\nabla U.}$

Bu ifade her ${\displaystyle \mathbf {x} }$ konumunda geçerli olduğundan, Einstein ilişkisinin genel biçimini ifade eder:

${\displaystyle D=-\mu {\frac {\rho }{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}}.}$

Klasik parçacıklar için ${\displaystyle \rho }$ ve ${\displaystyle U}$ arasındaki ilişki Maxwell-Boltzmann istatistikleriyle modellenebilir:

${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )=Ae^{-{\frac {U(\mathbf {x} )}{k_{\rm {B}}T}}},}$

burada ${\displaystyle A}$ toplam parçacık sayısıyla ilgili bir sabittir. Bu nedenle:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}=-{\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}\rho .}$

Bu varsayım altında, bu denklemi genel Einstein ilişkisine dahil etmek şunları verir:

${\displaystyle D=-\mu {\frac {\rho }{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}}=\mu k_{\rm {B}}T,}$

ki bu klasik Einstein ilişkisine karşılık gelir.

Ayrıca bakınız

• Smoluchowski faktörü
• İletkenlik (elektrolitik)
• Stokes yarıçapı
• İyon taşıma numarası

Kaynakça

Dış bağlantılar

• Einstein ilişki hesaplayıcıları
• İyon yayılımı 24 Haziran 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.