При́зма (дав.-гр. πρίσμα — «відпиляне»; від πρίζω — «пиляю») — стереометрична фігура, многогранник (призматоїд), у якого дві грані — рівні n-кутники, розташовані в паралельних площинах, а решта n граней — паралелограми. Ці паралелограми називаються бічними гранями призми, а інші два n-кутники називаються її основами.
Многокутник, що лежить в основі, визначає назву призми: трикутник — трикутна призма, чотирикутник — чотирикутна; п'ятикутник — п'ятикутна (пентапризма) і т. д.
Призма є частковим випадком циліндра в загальному сенсі (некругового).
Призма називається прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основи. Інші призми — похилі.
Призма називається правильною, якщо вона пряма і її основи — правильні многокутники.
Висота призми — відстань між площинами її основ.
Прямі призми з правильними основами й однаковими довжинами ребер утворюють одну з двох нескінченних послідовностей напівправильних многогранників, іншу послідовність утворюють антипризми
Зрізана призма — це призма з непаралельними основами.
Назва | Визначення | Позначення на кресленні | Креслення |
Основи | Дві грані, є конгруентними многокутниками, що лежать у паралельних одна одній площинах. | , | |
Бічні грані | Усі грані, крім основ. Кожна бічна грань обов'язково є паралелограмом. | , , , , | |
Бічна поверхня | Об'єднання бічних граней. | ||
Повна поверхня | Об'єднання основ і бічної поверхні. | ||
Бічні ребра | Спільні сторони бічних граней. | , , , , | |
Висота | Відрізок, що з'єднує площини, у яких лежать основи призми і перпендикулярний до цих площин. | ||
Діагональ | Відрізок, що з'єднує дві вершини призми, які не належать одній грані. | ||
Діагональна площина | Площина, що проходить через бічне ребро призми і діагональ основи. | ||
Діагональний переріз | Перетин призми і діагональної площини. В перерізі утворюється паралелограм, зокрема його часткові випадки — ромб, прямокутник, квадрат. | ||
Перпендикулярний (ортогональний) переріз | Переріз призми і площини, перпендикулярної до її бічного ребра. |
Трикутна призма |
4-кутна призма |
5-кутна призма |
6-кутна призма |
7-кутна призма |
8-кутна призма |
Групою симетрії прямої n-кутної призми з правильною основою є група Dnh порядку 4n, за винятком куба, який має групу симетрії Oh порядку 48, що містить три версії D4h в якості підгруп. Групою обертань є Dn 2n, за винятком випадку куба, для якого групою обертань є група O порядку 24, що має три версії D4 в якості підгруп.
Група симетрії Dnh включає центральну симетрію в тому і тільки в тому випадку, коли n парне.
Об'єм призми дорівнює добутку площі основи на висоту. Таким чином об'єм дорівнює:
де S — площа основи, h — висота. Об'єм правильної призми в основі якої є правильний n-кутник дорівнює:
Площа бічної поверхні призми дорівнює , де P — периметр основи, H — висота.
Площа поверхні призми дорівнює , де S — площа основи, h — висота, P — периметр основи.
Площа поверхні правильної призми в основі якої є правильний n-кутник дорівнює:
Призматичний многогранник — це узагальнення призми в просторах розмірності 4 і вище. n-вимірний призматичний многогранник конструюється з двох (n − 1)-вимірних многогранників, перенесених у наступну розмірність.
Елементи призматичного n-вимірного многогранника подвоюються з елементів (n − 1)-вимірного многогранника, потім створюються нові елементи наступного рівня.
Візьмемо n-вимірний многогранник з елементами (i-вимірна грань, i = 0, …, n). Призматичний ()-вимірний многогранник буде мати елементів розмірності i (при , ).
За розмірностями:
Правильний n-многогранник, представлений символом Шлефлі {p, q, ..., t}, може утворити однорідний призматичний многогранник розмірності (n + 1), представлений прямим добутком двох символів Шлефлі: {p, q, ..., t}×{}.
За розмірностями:
Призматичні многогранники більш високих розмірностей також існують як прямі добутки двох будь-яких многогранників. Розмірність призматичного многогранника дорівнює добутку розмірностей елементів добутку. Перший приклад такого добутку існує в 4-вимірному просторі і називається дуопризмами, які отримуються, як добуток двох многокутників. Правильні дуопризми подаються символом {p}×{q}.
Скручена призма — це неопуклий призматичний многогранник, отриманий з однорідної q-кутної призми шляхом поділу бічних граней діагоналлю і обертання верхньої основи, зазвичай на кут радіан ( градусів), в напрямку, за якого сторони стають увігнутими.
Скручена призма не може бути розбита на тетраедри без уведення нових вершин. Найпростіший приклад з трикутними основами називається многогранником Шенхардта.
Скручена призма топологічно ідентична антипризмі, але має половину симетрій: Dn, +, порядку 2n. Цю призму можна розглядати як опуклу антипризму, у якої видалено тетраедри між парами трикутників.
Трикутна | Чотирикутні | 12-кутна | |
---|---|---|---|
Многогранник Шенхардта |
Скручена квадратна антипризма |
Квадратна антипризма |
Скручена дванадцятикутна антипризма |
Многокутник | ||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Мозаїка | ||||||||||||
Конфігурація | 3.4.4 | 4.4.4 | 5.4.4 | 6.4.4 | 7.4.4 | 8.4.4 | 9.4.4 | 10.4.4 | Одинадцятикутна призма|11.4.4 | 12.4.4 | 17.4.4 | ∞.4.4 |
n | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Назва | {2} | t{2} | {3} | t{3} | {4} | t{4} | {5} | t{5} | {6} | t{6} |
Купол | Діагональний купол |
Трискатний купол |
Чотирискатний купол |
П’ятискатний купол |
Шестискатний купол (плоский) | |||||
Пов'язані однорідні многогранники |
Трикутна призма |
Кубооктаедр |
Ромбокубооктаедр |
Ромбоікосододекаедр |
Ромботришестикутна мозаїка |
Призми топологічно є частиною послідовності однорідних зрізаних многогранників з конфігураціями вершин (3.2 n.2n) і .
Варіанти симетрії *n32 зрізаних мозаїк: 3.2n.2n | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симетрія *n32 |
Сферична | Евклідова | Компактна гіперболічна | Параком- пактна |
Некомпактна гіперболічна | ||||||
*232 |
*332 |
*432 |
*532 |
*632 |
*732 |
*832 … |
*∞32 |
||||
Зрізані фігури |
|||||||||||
Конфігурація | 3.4.4 | 3.6.6 | 3.8.8 | 3.10.10 | 3.12.12 | 3.14.14 | 3.16.16 | 3.∞.∞ | 3.24 i.24i | 3.18 i.18i | 3.12 i.12i |
Розділені фігури |
|||||||||||
Конфігурація | V3.4.4 | V3.6.6 | V3.8.8 | V3.10.10 | V3.12.12 | V3.14.14 | V3.16.16 | V3.∞.∞ |
Призми топологічно є частиною послідовності скошених многогранників з вершинними фігурами (3.4.n.4) і мозаїк на гіперболічній площині. Ці вершиннотранзитивні фігури мають (*n32) дзеркальну симетрію.
Варіанти симетрії *n42 розширених мозаїк: 3.4.n.4 | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симетрія *n32 |
Сферична | Евклідова | Компактна гіперболічна |
Паракомпактна | ||||
*232 |
*332 |
*432 |
*532 |
*632 |
*732 |
*832 … |
*∞32 | |
Фігура | ||||||||
Конфігурація | 3.4.2.4 | 3.4.3.4 | 3.4.4.4 | 3.4.5.4 | 3.4.6.4 | 3.4.7.4 | 3.4.8.4 | 3.4.∞.4 |
Існує 4 однорідні з'єднання трикутних призм:
Існує 9 однорідних стільників, що включають комірки у вигляді трикутних призм:
Трикутна призма є першим многогранником в ряду напівправильних многогранників. Кожен наступний однорідний многогранник містить в якості вершинної фігури попередній многогранник. Торольд Госсет ідентифікував цю серію в 1900 як таку, що містить всі фасети правильних багатовимірних многогранників, всі симплекси і ортоплекси (правильні трикутники і квадрати для випадку трикутних призм). У нотації Коксетера трикутна призма задається символом −121.
k21 у просторі розмірністю n | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Простір | Скінченний | Евклідів | Гіперболічний | ||||||||
En | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
Група Коксетера |
E₃=A₂A₁ | E₄=A₄ | E₅=D₅ | E₆ | E₇| | E₈ | E₉ = Ẽ₈ = E₈+ | E₁₀ = T₈ = E₈++ | |||
Діаграма Коксетера |
|||||||||||
Симетрія | |||||||||||
Порядок | 12 | 120 | 192 | 51 840 | 2 903 040 | 696 729 600 | ∞ | ||||
Граф | - | - | |||||||||
Позначення | −121 | 021 | 121 | 221 | 321 | 421 | 521 | 621 |
Трикутна призма є коміркою у багатьох чотиривимірних однорідних 4-вимірних многогранниках, включно з:
|
|