在數學 裡,偶函數 (英語:Even functions )和奇函數 (英語:Odd functions )是滿足著相對於加法逆元 之特定對稱 關係的函數 。這在數學分析 的許多領域中都很重要,特別是在冪級數 和傅立葉級數 的理論裡。其命名是因為冪函數 的冪的奇偶性 滿足下列條件:若n 為一偶數,則函數
x
n
{\displaystyle x^{n}}
是偶函數,若
n
{\displaystyle n}
為一奇數,則為奇函數。
偶函數
f(x) = x2 ,偶函數的一個例子
設f (x )為一實變數實 值函數,則
f
{\displaystyle f}
為偶函數 若下列的方程對所有在
f
{\displaystyle f}
的定義域 內的
x
{\displaystyle x}
都成立:
f
(
x
)
=
f
(
−
x
)
{\displaystyle f(x)=f(-x)}
幾何上,一個偶函數會关于y 軸對稱 ,亦即其圖像 在對y 軸為轴对称 後不會改變。
偶函數的例子有|x | 、x 2 、x 4 、cos (x )和cosh (x )。
偶函數不可能是個雙射 映射 。
奇函數
f(x) = x,奇函數的一個例子
再次地,設
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
為一個實變數實 值函數,則
f
{\displaystyle f}
為奇函數 若下列的方程對所有在f 的定義域 內的
x
{\displaystyle x}
都成立:
f
(
x
)
=
−
f
(
−
x
)
{\displaystyle f(x)=-f(-x)}
或
f
(
−
x
)
=
−
f
(
x
)
{\displaystyle f(-x)=-f(x)}
幾何上,一個奇函數关于原點 對稱,亦即其圖像 在繞原點做180度旋轉 後不會改變。
奇函數的例子有
x
{\displaystyle x}
、sin (x )、sinh (x )和erf (x )。
基本特性
注意:一個函數為奇函數或偶函數不表示其為可微的,或即使為連續的。其包含在傅立葉級數、泰勒級數、導數等之性質都只在假設其存在時才被使用。
唯一一個同時為奇函數及偶函數的函數為其值為0的常數函數 (即對所有
x
{\displaystyle x}
,
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle f(x)=0}
)。
通常,一個偶函數和一個奇函數的相加 不會是奇函數也不會是偶函數;如
x
+
x
2
{\displaystyle x+x^{2}}
。
兩個偶函數的相加為偶函數,且一個偶函數的任意常數倍亦為偶函數。(偶+偶=偶 n×偶=偶)
兩個奇函數的相加為奇函數,且一個奇函數的任意常數倍亦為奇函數。(奇+奇=奇 n×奇=奇)
兩個偶函數的乘積 為一個偶函數。(偶×偶=偶)
兩個奇函數的乘積為一個偶函數。(奇×奇=偶)
一個偶函數和一個奇函數的乘積為一個奇函數。(偶×奇=奇)
兩個偶函數的商 (除數不得為0)為一個偶函數。(偶÷偶=偶)
兩個奇函數的商(除數不得為0)為一個偶函數。(奇÷奇=偶)
一個偶函數和一個奇函數的商(除數不得為0)為一個奇函數。(偶÷奇=奇 奇÷偶=奇)
一個偶函數的導數 為一個奇函數。(偶'=奇)
一個奇函數的導數為一個偶函數。(奇'=偶)
兩個奇函數的複合為一個奇函數,而兩個偶函數的複合為一個偶函數。
一個偶函數和一個奇函數的複合為一個偶函數。
級數
代數結構
偶函數的任何線性組合 皆為偶函數,且偶函數會形成一個實數 上的向量空間 。相似地,奇函數的任何線性組合皆為奇函數,且奇函數亦會形成一個實數上的向量空間。實際上,「所有」實值函數之向量空間為偶函數和奇函數之子空間 的直和 。換句話說,每個定义域关于原点对称的函數都可以被唯一地寫成一個偶函數和一個奇函數的相加:
f
(
x
)
=
f
e
v
e
n
(
x
)
+
f
o
d
d
(
x
)
=
f
(
x
)
+
f
(
−
x
)
2
+
f
(
x
)
−
f
(
−
x
)
2
{\displaystyle f(x)=f_{\mathrm {even} }(x)+f_{\mathrm {odd} }(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}\,+\,{\frac {f(x)-f(-x)}{2}}}
偶函數會形成一個實數上的可交換代數 ,但奇函數則不會形成任何一個在實數上的代數。
諧波
在信號處理 裡,諧波失真 會產生於當一個正弦波 信號被一非線性傳遞函數 放大的時候。其諧波 的類型會因傳遞函數的不同而不同:
當傳遞函數為偶函數,其輸出信號會只包括輸入正弦波的偶諧波;
2
f
,
4
f
,
6
f
,
…
{\displaystyle 2f,4f,6f,\dots }
其基頻 亦為一個奇諧波,故將不會出現在輸出信號裡。
一個簡單的例子為全波整流器 。
當傳遞函數為奇函數時,其輸出信號會只包括輸入正弦波的奇諧波;
1
f
,
3
f
,
5
f
,
…
{\displaystyle 1f,3f,5f,\dots }
當傳遞函數為不對稱時,其輸出信號會包括偶諧波或奇諧波;
1
f
,
2
f
,
3
f
,
…
{\displaystyle 1f,2f,3f,\dots }
参考文献
引用
^ Gelfand 2002, p. 11
^ Gelfand 2002, p. 72
^ Ask the Doctors: Tube vs. Solid-State Harmonics . [2006-12-25 ] . (原始内容存档 于2018-01-01).
^ Berners, Dave. Ask the Doctors: Tube vs. Solid-State Harmonics . UA WebZine. Universal Audio. October 2005 [2016-09-22 ] . (原始内容存档 于2018-01-01). To summarize, if the function f(x) is odd, a cosine input will produce no even harmonics. If the function f(x) is even, a cosine input will produce no odd harmonics (but may contain a DC component). If the function is neither odd nor even, all harmonics may be present in the output.
来源
参见