Sèrie L de Dirichlet

.

• Tota sèrie L de Dirichlet es perllonga analíticament en el pla complex en una funció meromorfa.

Es nota Γ la funció gamma, és una funció meromorfa que verifica la igualtat següent:

${\displaystyle \forall segon\in \mathbb {C} \quad \Gamma (segon)=\int _{0}^{+\infty }e^{-t}.t^{s-1}dt}$

Utilitzem llavors el canvi de variable t = -n.ln(x), s'obté:

${\displaystyle \forall no\in \mathbb {N} ^{*}\quad \forall segon\in \mathbb {C} \quad \Gamma (segon)=n^{s}\int _{0}^{1}x^{n-1}ln(x^{-1})^{s-1}dx}$

d'altra banda, χ és una funció periòdica de període q i que val zero sobre el conjunt dels enters múltiples de q, se'n dedueix la igualtat de les sèries formals:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\chi (n)x^{n}={\frac {1}{1-x^{q}}}\sum _{n=1}^{q-1}\chi (n)x^{n}}$

se'n dedueix la igualtat següent:

${\displaystyle \Gamma (s)L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }\chi (n)\int _{0}^{1}x^{n-1}ln(x^{-1})^{s-1}dx=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-x^{q}}}\sum _{n=1}^{q-1}\chi (n)x^{n-1}ln(x^{-1})^{s-1}dx}$ se'n dedueix que la funció que a s li associa (s).L(s) és meromorfa en el pla complex, el fet que la funció gamma també ho sigui conclou la demostració.

.

• El punt 1 és un pol del caràcter principal.

El Producte d'Euler del caràcter principal és el següent:

${\displaystyle L(s,\chi _{0})\ =\ \prod _{p\in {\mathcal {P}}}{\Big (}1-{\frac {\chi _{0}(p)}{p^{s}}}{\Big )}^{-1}}$

El caràcter principal és igual a 1 excepte per als punts n que tenen un divisor comú amb N diferent de 1. Se'n dedueix la fórmula:

${\displaystyle L(s,\chi _{0})\ =\ \prod _{p\in P\ p|N}{\Big (}1-{\frac {1}{p^{s}}}{\Big )}\prod _{p\in {\mathcal {P}}}{\Big (}1-{\frac {1}{p^{s}}}{\Big )}^{-1}\ =\ \prod _{p\in P\ p|N}{\Big (}1-{\frac {1}{p^{s}}}{\Big )}\zeta (s)}$

ζ designa aquí la funció zeta de Riemann. Ara bé, aquesta funció divergeix en el punt 1. Les demostracions es donen a l'article producte d'Euler.

• Tot caràcter no principal és analític sobre el semi-pla complex de part real estrictament positiva.

Sigui χ un caràcter no principal, és ortogonal al caràcter principal (vegeu l'article caràcter de Dirichlet en el paràgraf Anàlisi harmònica), se'n dedueix que:

${\displaystyle (1)\quad <\chi _{0},\chi >\ =\ \sum _{n\in \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} }\chi (n)=0}$

Se'n dedueix l'expressió següent de L(s,χ) si la part real de s és estrictament superior a 1 ja que la sèrie és absolutament convergent:

${\displaystyle (2)\quad L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}\ =\ \sum _{r=0}^{\infty }\sum _{j=1}^{N-1}{\frac {\chi (j)}{(rq+j)^{s}}}\ =\ \sum _{r=0}^{\infty }\sum _{j=1}^{N-1}{\chi (jo)}{\Bigg (}{\frac {1}{(rq+j)^{s}}}-{\frac {1}{(rq+q)^{s}}}{\Bigg )}}$

L'última igualtat és una conseqüència directa de (1).

L'objectiu és demostrar que l'expressió (2) de la sèrie és absolutament convergent si la part real de s és estrictament positiva. Es calcula el mòdul següent si r és diferent de zero.

${\displaystyle (3)\quad \left|{\frac {1}{(rq+j)^{s}}}-{\frac {1}{(rq+q)^{s}}}\right|={\frac {1}{|(rq)^{s}|}}\left|{\frac {(1+{\frac {1}{r}})^{s}-(1+{\frac {j}{rq}})^{s}}{(1+{\frac {1}{r}})^{s}(1+{\frac {j}{rq}})^{s}}}\right|}$

Un desenvolupament limitat mostra que:

${\displaystyle (4)\quad \left|{\frac {1}{(rq+j)^{s}}}-{\frac {1}{(rq+q)^{s}}}\right|\leq {\frac {1}{|(4rq)^{s}|}}{\Big (}{\frac {s}{r}}(1-{\frac {j}{q}})+o(r^{-1}){\Big )}\leq \left|{\frac {s}{(4q)^{s}}}\right|r^{-(s+1)}+o(r^{-(s+1)})}$

La majorant (4) mostra la convergència normal sobre el semi-pla complex de part real superior a ε, si ε és un real estrictament positiu. Aquesta resultat implica la proposició.

• No poden existir dos caràcters diferents que tinguin 1 per a arrel.

Aquest lema permet demostrar que els caràcters complexos no poden posseir 1 per a arrel.

Es raona per reducció a l'absurd. Siguin χ₁ i χ₂ dos caràcters que tenen 1 per a arrel. Fixeu-vos al principi que cap dels dos no és el caràcter principal, en efecte el caràcter principal admet 1 per pol. Aquí, ${\displaystyle \scriptstyle {\widehat {U}}}$ designa el grup dels caràcters de Dirichlet. Sigui D el disc tancat del pla complex de centre 1 i de radi un mig on s'ha suprimit el punt 1. Es determina el comportament al voltant del valor 1 de la funció ψ de D en el conjunt dels nombres complexos, definida per la igualtat següent:

${\displaystyle \forall segon\in D\quad \psi (segon)=\prod _{\chi \in {\widehat {U}}}L(s,\chi )}$

Sobre el disc D, a excepció del caràcter principal χ₀, tots els caràcters són analítics. El producte dels diferents caràcters a excepció de χ₀, χ₁ i χ₂ és una funció analítica, existeix per tant un real M₁ que augmenta aquest producte sobre D.

Com que χ₁ i χ₂ són analítics sobre D, les seves derivades també són augmentades sobre D, sigui M₂ tal augmentant. Llavors es verifica l'augmentant següent:

${\displaystyle \forall segon\in D\quad \forall i\in {1,2}\quad |L(s,\chi _{i})|\ \leq \ M_{2}|s-1|}$

Se'n dedueix:

${\displaystyle (1)\quad \forall es\in D\quad |\psi (s)|\leq M_{1}M_{2}^{2}\prod _{p\in P\ p|N}|1-p^{-s}|.\zeta (s).|s-1|^{2}=M_{1}M_{2}^{2}\prod _{p\in P\ p|N}|1-p^{-s}|\sum _{n=1}^{\infty }\left|{\frac {(s-1)^{2}}{n^{s}}}\right|}$

E nota x el mòdul de s-1, M₃ un majorant del produce de l'expressió (1) sobre el disc D i M₁, M₂ i M₃. L'augmentant (1) es pot escriure:

${\displaystyle (2)\quad \forall s\in D\quad |\psi (s)|\leq M\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{2}}{n^{1+x}}}\leq M{\Big (}x^{2}+\int _{1}^{+\infty }{\frac {x^{2}}{t^{1+x}}}dt{\Big )}=M(x^{2}+x)\quad \Rightarrow \lim _{s\to 1}\psi (s)=0}$

Ara Bé el càlcul que determina el producte eulerià, (vegeu Producte eulerià de l'article caràcter de Dirichlet) mostra que, si U designa el grup de les unitats de Z/NZ i P el conjunt dels nombres primers:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {U} \quad \sum _{p\in {\mathcal {P}}\ p^{k}\in x}\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {1}{k(p^{k})^{s}}}\ =\ {\frac {1}{\varphi (N)}}\sum _{\chi \in {\widehat {\mathbb {U} }}}\chi (x)^{*}\;log{\Bigg (}\prod _{p\in {\mathcal {P}}}{\Big (}1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}{\Big )}^{-1}{\Bigg )}}$

Escollint per valor de x l'element neutre del grup i reemplaçant el producte eulerià per la seva sèrie, s'obté:

${\displaystyle \forall segon\in D\quad log{\Big (}\psi (s){\Big )}\ =\sum _{\chi \in {\widehat {U}}}log{\big (}L(s,\chi ){\Big )}\ =\ \sum _{\chi \in {\widehat {\mathbb {U} }}}\chi (1)^{*}\;log{\Bigg (}\prod _{p\in {\mathcal {P}}}{\Big (}1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}{\Big )}^{-1}{\Bigg )}\ =\ {\frac {\varphi (N)}{N}}\sum _{p\in {\mathcal {P}}\ p^{k}\equiv 1}\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {1}{k(p^{k})^{s}}}}$

Per a tot valor real de s estrictament superior a 1, el logaritme de ψ(s) és estrictament positiu, se'n dedueix que ψ(s) és estrictament superior a 1 al veïnatge del punt 1, el que està en contradicció amb (2).

• Un caràcter no principal i no real no admet 1 com a arrel.

Si un caràcter és complex llavors el seu caràcter conjugat és diferent d'ell mateix i admet també 1 com a arrel, el lema precedent mostra que aquesta configuració és impossible.

• Un caràcter no principal i real no admet 1 com a arrel.

Aquesta demostració és la més delicada. Dirichlet hi va treballar durant un any, la que es presenta aquí és obra d'Alexander Gelfond i Atle Selberg. Aquí χ designa un caràcter real no principal. La demostració proposada també és una prova per reducció a l'absurd. Se suposa per tant que L(1, χ) és nul.

Sigui (a_n(t)) on n és un enter estrictament positiu, la successió de funcions de ]0, 1 [ definida per:

${\displaystyle \forall no\in \mathbb {N} ^{*}\quad \forall et\in ]0,1[\quad a_{n}(t)\ =\ {\frac {1}{n(1-t)}}-{\frac {t^{n}}{1-t^{n}}}}$

• La successió (a_n(t)) és positiva i tendeix absolutament cap a zero.

Fiseu-vos que:

${\displaystyle (1-t^{n})a_{n}(t)\ =\ {\frac {1-t^{n}}{n(1-et)}}-t^{n}}$

La convexitat de la funció funció exponencial mostra que, si ln designa el logaritme neperià:

${\displaystyle (1)\quad {\frac {1-t^{n}}{n(1-et)}}\ =\ {\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}t^{i}\ =\ {\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}exp{\Big (}ln(t^{i}){\Big )}\ \geq \ exp{\Big (}{\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}ln(t^{i}){\Big )}{\Big )}\ =\ {\Big (}\prod _{i=0}^{n-1}t^{i}{\Big )}^{\frac {1}{n}}=t^{\frac {n-1}{2}}\ \geq t^{n}}$

L'augmentant precedent demostra que la successió (a_n) és positiva, la convergència absoluta cap a zero és evident.

• La successió (a_n(t)) és decreixent.

Es Calcula a_n - a_n+1:

${\displaystyle (2)\quad a_{n}(t)-a_{n+1}(t)\ =\ {\frac {1}{n(n+1)(1-t)}}-{\frac {t^{n}(1-t)}{(1-t^{n})(1-t^{n+1})}}}$

L'augmentant (1) mostra que:

${\displaystyle (3)\quad {\frac {1-t^{n}}{n(1-t)}}\ {\frac {1-t^{n+1}}{(n+1)(1-et)}}\ \geq \ t^{\frac {n-1}{2}}\ t^{\frac {n}{2}}\ \geq t^{n}}$

Multiplicant l'augmentant (3) per la fracció adequada, s'obté:

${\displaystyle (4)\quad {\frac {1}{n(n+1)(1-t)}}\ \geq \ {\frac {t^{n}(1-t)}{(1-t^{n})(1-t^{n+1})}}}$

L'augmentant (4) prova que la igualtat (3) és positiva.

• La seria de terme general a_n(t) χ(n) és absolutament majorada pel conductor N del caràcter.

S'obté l'augmentant següent:

${\displaystyle (5)\quad \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(t)\chi (n)\ =\ \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(t){\Big (}\sum _{m=1}^{n}\chi (m)-\sum _{m=1}^{n-1}\chi (m){\Big )}\ =\ \sum _{m=1}^{\infty }{\Big (}(a_{n}(t)-a_{n+1}(t){\Big )}\sum _{m=1}^{n}\chi (m)}$

El valor a_n(t) - a_n+1(t) és positivu i augmentadt per a₁(t) ja que la successió (a_n(t)) és decreixent. La funció és periòdica de període N i la suma dels seus valors sobre N' enters consecutius és nul, (la demostració es dona al començament d'aquella sobre el caràcter analític de χ), el valor d'un caràcter és a més de mòdul 1, el que demostra que la suma dels χ no supera mai N en mòdul. Llavors per concloure n'hi ha prou amb fixar-se que per al valor 1 de n la funció a_n(t) és constant de valor 1. Se'n dedueix:

${\displaystyle (6)\quad \left|\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(t)\chi (n)\right|\leq N}$

• La sèrie de terme general a_n(t) χ(n) verifica la igualtat següent:

${\displaystyle (7)\quad \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(t)\chi (n)\ =\ -\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}\chi (n)}{1-t^{n}}}}$

En efecte, per definició de la sèrie:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(t)\chi (n)\ =\ \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n(t-1)}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}\chi (n)}{1-t^{n}}}\ =\ {\frac {L(1,\chi )}{(t-1)}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}\chi (n)}{1-t^{n}}}}$

On, per hipòtesi L(1, χ) se suposa igual a zero.

• La sèrie de terme general a_n(t) χ(n) verifica la igualtat següent:

${\displaystyle (8)\quad \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(t)\chi (n)\ =\ -\sum _{m=1}^{\infty }{\Big (}\sum _{n|m}\chi (n){\Big )}t^{m}}$ La igualtat (7) mostra que: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(t)\chi (n)\ =\ -\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}\chi (n)}{1-t^{n}}}\ =\ -\sum _{n=1}^{\infty }\chi (n)t^{n}\sum _{k=0}^{\infty }t^{km}\ =\ -\sum _{n=1}^{\infty }\chi (n)\sum _{k=1}^{\infty }t^{km}\ =\ -\sum _{m=1}^{\infty }{\Big (}\sum _{n|m}\chi (n){\Big )}t^{m}}$

Es nota A(m) la funció que a un enter m li associa la suma de les imatges dels divisors de m pel caràcter:

${\displaystyle \forall no\in \mathbb {N} \quad A(m)\ =\ \sum _{n|m}\chi (n)}$

• La funció A(m) és amb valor en els enters, és positiva i estrictament positiva si m és un quadrat perfecte.

χ és un caràcter real, pren per tant els seus valors del conjunt {-1, 0, 1}, en conseqüència A(m) pren els seus valors en els enters.

Sigui p un nombre primer i k un enter positiu. Si χ(p) és nul, tota potència de p té la mateixa imatge per χ ja que un caràcter és una funció completament multiplicativa i A(p^k) és igual a zero.

Si χ(p) és igual a 1, llavors tota potència de p té la mateixa imatge per i A(p^k) és igual a p + 1.

Finalment si χ(p) és igual a -1, llavors tota potència de p val 1 si l'exponent és parell i -1 en cas contrari. En conseqüència A(p^k) és igual a 1 si k és parell i 0 en el cas contrari.

Tota potència d'un nombre primer posseeix per tant una imatge positiva o nua per A. N'hi ha prou llavors amb fixar-se que A és també una funció completament multiplicativa per concloure que les imatges de A són sempre positives.

Finalment si m és un quadrat perfecte, llavors totes les potències en la seva descomposició en factors primers són de nombres parells, les seves imatges per A són sempre estrictament positives, la qual cosa permet acabar en un valor estrictament positiu.

• Conclusió existeix una infinitat de quadrats perfectes la igualtat (8) demostra que l'expressió, en mòdul, es pot escollir tan gran com es vulgui, si t és prou a prop de 1. Aquest resultat està en contradicció amb l'augmentant (6), el que conclou la demostració.