En matemàtiques i particularment en anàlisi complexa, una superfície de Riemann (anomenada així en honor de Georg Friedrich Bernhard Riemann) és una varietat complexa d'una dimensió. Les superfícies de Riemann es poden imaginar com a "versions deformades" d'un pla complex: localment poden semblar unes 'peces' (o conjunts oberts) del pla complex, però la topologia global pot ser força diferent. Per exemple, poden ser homeomorfes a una esfera, a un torus o a un parell de fulls enganxats.
La qüestió principal sobre les superfícies de Riemann és que es poden definir les funcions holomorfes entre elles. Avui en dia les superfícies de Riemann són considerades el context natural per a estudiar el comportament global d'aquestes funcions, especialment les funcions multívoques com la funció arrel quadrada o el logaritme natural.
Cada superfície de Riemann és una varietat analítica real de dues dimensions, però també té una estructura complexa, necessària per a una definició no ambivalent de les funcions holomorfes. Una varietat real de dues dimensions pot ser transformada en una superfície de Riemann (generalment de moltes maneres no equivalents) si i només si és orientable. Així l'esfera i el torus admeten una estructura complexa, però no la banda de Möbius, l'ampolla de Klein o el pla projectiu.
Els fets geomètrics a propòsit de les superfícies de Riemann són els millors possibles, i forneixen la intuïció i la motivació per a la generalització a altres corbes o varietats. El teorema de Riemann-Roch és un exemple important d'aquesta influència.
Sigui X un espai de Hausdorff. Un homeomorfisme d'un subconjunt obert U⊂X a un subconjunt de C s'anomena carta. Dues cartes f i g de les quals els dominis s'intersequen es diuen compatibles si les aplicacions i són holomorfes sobre els seus dominis. Si A és una col·lecció de cartes compatibles e cada és en el domini d'una f de A, llavors es diu que A és un atles. El parell (X, A) s'anomena també superfície de Riemann.
Diversos atles poden generar la mateixa estructura de superfície de Riemann sobre X. Per a evitar aquesta ambivalència, es demana que l'atlas sigui 'maximal', és a dir, que no sigui contingut en cap altre atles. Cada atles A és contingut en un únic atles maximal gràcies al Lema de Zorn.
Una funció f : M → N entre dues superfícies de Riemann s'anomena holomorfa si per a cada carta g en l'atles de M i per a cada carta h en l'atles de N l'aplicació és holomorfa on és definida. La composició de dues funcions holomorfes és holomorfa. Les dues superfícies de Riemann M i N s'anomenen conformement equivalents si existeix una aplicació holomorfa bijectiva de M a N (aquest fet implica que la inversa és també holomorfa). Dues superfícies de Riemann conformement equivalents són de fet la mateixa superfície.
Cada superfície de Riemann simplement connexa és conformement equivalent a una de les superfícies a continuació:
Aquest enunciat és conegut com el Teorema d'uniformització de Riemann.
Cada superfície de Riemann connexa pot ser transformada en una varietat Riemanniana real a 2 dimensions amb curvatura constant
L'estructura Riemanniana és única a menys de multiplicació per una constant real.
Els conjunts representatius de les classes d'equivalència s'anomenen conjunts regulars lliures i poden ser modelats en polígons fonamentals mètrics.
Totes les superfícies de Riemann, així com ara les varietats complexes, són orientables com a varietats reals. La raó és que, per a cartes complexes f i g, amb funció de transició h = f(g-1(z)), es pot considerar h com una aplicació entre subconjunts de R²: en aquest cas, el determinant Jacobià a un punt z és la multiplicació per a h'(z). De tota manera, el determinant real d'una multiplicació per a un nombre complex α és igual a |α|^2, així doncs és positiu, i l'atles complex és orientat.
Cada superfície de Riemann no compacta admet funcions holomorfes no constants (a valors en ). De fet, cada superfície de Riemann no compacta és una varietat de Stein.
Al contrari, sobre una superfície de Riemann compacta, totes les funcions holomorfes a valors en són constants gràcies al principi del màxim. Però existeixen funcions meromorfes (és a dir, funcions holomorfes a valors en l'esfera de Riemann) no constants.
A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Superfície de Riemann |