Asymptota

Asymptota (asymptotická přímka) určité křivky je taková přímka, jejíž vzdálenost od této křivky se limitně blíží k nule, když se jedna nebo obě souřadnice blíží nekonečnu. Asymptotický je vztah dvou veličin, které se k sobě limitně přibližují. Slovo je z řec. asymptótos, neshodný.

Definice

Mějme bod ${\displaystyle T}$ rovinné křivky a přímku ${\displaystyle p}$. Označme vzdálenost bodu ${\displaystyle T}$ od přímky jako ${\displaystyle \nu }$. Pokud alespoň jedna souřadnice bodu ${\displaystyle T}$ roste nade všechny meze a současně ${\displaystyle \lim \nu =0}$, pak se přímka ${\displaystyle p}$ nazývá asymptotou.

Asymptota grafu funkce

Asymptotu grafu funkce rozlišujeme se směrnicí a bez směrnice.

Asymptota se směrnicí

Přímka ${\displaystyle y=kx+q}$ je asymptotou grafu funkce ${\displaystyle y=f(x)}$ se směrnicí právě tehdy, jestliže platí:

${\displaystyle \lim \limits _{x\rightarrow \pm \infty }(f(x)-kx-q)=0}$.

Je-li rovnice asymptoty ${\displaystyle y=kx+q}$, potom platí:

${\displaystyle k=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {f(x)}{x}}}$

${\displaystyle q=\lim _{x\to \pm \infty }(f(x)-kx)}$

Asymptota bez směrnice

Je-li funkce ${\displaystyle y=f(x)}$ definovaná pro ${\displaystyle x\neq a\in {\mathsf {R}}}$, potom graf funkce f má asymptotu bez směrnice právě tehdy, jestliže existuje alespoň jedna jednostranná nevlastní limita v bodě a. Rovnice takové asymptoty je potom

${\displaystyle x=a\,}$.

Asymptota kuželosečky

Asymptotou kuželosečky je mezní poloha tečny kuželosečky - přímka, která se ke kuželosečce neomezeně blíží, ale nemá s ní žádný společný (vlastní) bod.

V projektivní geometrii platí, že asymptota je tečna v nevlastním bodě

Další asymptoty

Pokud lze rovnici křivky zapsat jako

${\displaystyle y=ax+b+\mu (x)}$,

přičemž ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\mu (x)=0}$, pak přímka ${\displaystyle y=ax+b}$ je asymptotou dané křivky.

Platí-li pro křivku ${\displaystyle y=f(x)}$ vztah ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }y=b}$, pak asymptotou křivky je přímka ${\displaystyle y=b}$.

Obdobně lze tvrdit, že pokud pro křivku ${\displaystyle x=g(y)}$ platí ${\displaystyle \lim _{y\to \pm \infty }x=c}$, pak asymptotou křivky je přímka ${\displaystyle x=c}$.

Literatura

• Ottův slovník naučný, heslo Asymptota. Sv. 2, str. 933

Související články

• Průběh funkce
• Asymptotický bod
• Asymptotická křivka
• Asymptotická složitost

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu asymptota na Wikimedia Commons