V tomto článku se chceme věnovat tématu Reciproká rovnice, které bylo v historii předmětem četných studií, debat a kontroverzí. Reciproká rovnice má významný dopad v různých oblastech, od politiky přes ekonomiku až po společnost obecně. Význam Reciproká rovnice byl takový, že vzbudil zájem akademiků, odborníků a výzkumníků, kteří věnovali mnoho úsilí snaze porozumět jeho vlivu a rozsahu. Na těchto stránkách prozkoumáme různé aspekty Reciproká rovnice, analyzujeme jeho původ, jeho vývoj v čase a jeho dopad dnes. Doufáme, že tento článek může přispět k vnesení světla do tak složitého a významného tématu, jako je Reciproká rovnice.
Reciproká rovnice je taková rovnice, jejíž levou stranu tvoří reciproký polynom. Ten je charakteristický symetričností svých koeficientů. První je stejný (popř. opačný) jako poslední, druhý je stejný (popř. opačný) jako předposlední atd. Je zřejmé, že máme-li reciproký polynom sudého stupně (tedy má lichý počet členů), existuje zde prostřední koeficient, ke kterému neexistuje symetrický člen.
Jsou-li si symetrické koeficienty rovny, jedná se o rovnici prvního druhu. Jsou-li však symetrické koeficienty opačné, jedná se o rovnici druhého druhu. Dále podle stupně polynomu rozlišujeme rovnici sudého a lichého stupně.
Nechť je dán reciproký polynom
Pak výraz nazýváme
Příklad:
a) reciproká rovnice 1. druhu, sudého stupně: 5x4 − 7x3 + 3x2 − 7x + 5 = 0
b) reciproká rovnice 2. druhu, lichého stupně: 6x3 − 2x2 + 2x − 6 = 0
Z výše uvedených skutečností je zřejmé, že je-li číslo c řešením rec. rovnice, pak je také číslo 1/c jejím řešením.
Reciproké rovnice lze těmito metodami řešit do určitých stupňů:
… rovnice 1. druhu, lichého stupně – kořen .
Vydělením rovnice dvojčlenem (x+1) dostaneme rovnici
… rovnice 1. druhu, sudého stupně – řešení substitucí
substituce
… řešení této kvadratické rovnice jsou
Zpětné dosazení
9 = x + 1/x
x2 − 9x + 1 = 0
3 = x + 1/x
x2 − 3x + 1 = 0
Zadaná rovnice má pět kořenů: