Střední doba života

Střední doba života (obvykle značená řeckým písmenem τ) je fyzikální veličina charakterizující čas setrvání dané entity v nestabilním stavu. Entitou může být nestabilní elementární částice, atomové jádro radioaktivního nuklidu, nestabilní energetický stav atomu apod.

Střední doba života je pro exponenciální přeměnu rovna převrácené hodnotě přeměnové konstanty a je přímo úměrná poločasu přeměny.

Udává se jako důležitá charakteristika elementárních částic.

Značení a jednotky

Doporučené značení střední doby života je ${\displaystyle \tau \,}$.

Protože se jedná o čas, je hlavní jednotkou soustavy SI sekunda, značka „s“.

Vzhledem k velmi rychlému rozpadu některých částic se často používají i dekadické díly této jednotky, zejména milisekunda „ms“ a nanosekunda „ns“.

Naopak vzhledem k dlouhým dobám života některých radioaktivního nuklidů se někdy používají i vedlejší jednotky hodina „h“ a den „d“, v případech kdy se nejedná o přesnost i mimosoustavová jednotka rok (nejednoznačně stanovená, nemá jednotnou mezinárodní značku – obvykle značená „r“ z českého rok nebo „a“ z latinského annus, případně „y“ či „yr“ z anglického year).

Definice a výpočet

Střední doba života je definována jako střední doba, za niž dojde k přeměně dané entity (částice, energetického stavu apod.). Matematicky ji lze vyjádřit vztahem:

${\displaystyle \tau ={\frac {\int _{0}^{\infty }t\,{\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} t}}\,\mathrm {d} t}{\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} t}}\,\mathrm {d} t}}}$, kde ${\displaystyle t\,}$ značí čas, ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} t}}\,\mathrm {d} t\right)\,}$ počet entit daného statistického souboru, které se přemění za dobu ${\displaystyle \mathrm {d} t\,}$.

Střední doba života u exponenciální přeměny

Pro exponenciální přeměnu, pro kterou je úbytek počtu entit ${\displaystyle N\,}$ dán vztahem

${\displaystyle N=N_{0}\,\mathrm {e} ^{-\lambda t}}$,

se lze prostým dosazením do definičního vztahu přesvědčit, že platí:

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{\lambda }}}$, kde ${\displaystyle \lambda \,}$ je tzv. přeměnová konstanta, u radioaktivního rozpadu zvaná rozpadová konstanta.

Dosazením střední doby života za čas ve vztahu pro exponenciální přeměnu lze získat názornou interpretaci střední doby života:

Střední doba života (pro exponenciální přeměnu) je doba, za kterou poklesne v daném statistickém souboru počet entit na ${\displaystyle {\tfrac {1}{\mathrm {e} }}}$-násobek původního počtu, e je Eulerovo číslo.

Příbuzné veličiny

Poločas přeměny

Poločas přeměny (doporučené značení T_½) je střední doba, za níž dojde v daném statistickém souboru k přeměně poloviny entit. Pro exponenciální přeměnu je přímo úměrná střední době života podle vztahu:

${\displaystyle T_{1/2}=\tau \,\ln 2}$.

Šířka energetického stavu

Šířka energetického stavu (též šířka energetické hladiny, doporučené značení Γ) je mírou intervalu energií, které nabývá daný nestabilní kvantový systém v daném energetickém stavu (mírou neurčitosti energie dané energetické hladiny).

Tato veličina je založena na relaci neurčitosti pro určení energie a charakteristického času a je definována vztahem:

${\displaystyle \Gamma ={\frac {\hbar }{\tau }}}$, kde ${\displaystyle \hbar \,}$ je redukovaná Planckova konstanta.

Používá se místo střední doby života např. v případech, kdy přeměna probíhá vlivem silné jaderné interakce a střední doba života je extrémně krátká – tedy např. jako charakteristika tzv. rezonancí.

Šířka energetického stavu má rozměr energie a jako její jednotka se zpravidla používá elektronvolt nebo jeho násobky (keV, MeV, GeV).

Charakteristiky jiných průběhů přeměn

Následující tabulka udává střední dobu života a poločas přeměny pro různé charakteristické průběhy počtu entit v souboru (rychlost úbytku entit je dána významnými rozděleními pravděpodobnosti).

průběh úbytku entit	funkce počtu entit ${\displaystyle {\frac {N(t)}{N_{0}}}}$	střední doba života ${\displaystyle \tau \,}$	poločas přeměny ${\displaystyle T_{1/2}\,}$
exponenciální	${\displaystyle \mathrm {e} ^{-\lambda t}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}}$	${\displaystyle {\frac {\ln 2}{\lambda }}}$
normální	${\displaystyle 1-\Phi \left({\frac {t-\mu }{\sigma }}\right)}$[pozn. 1]	${\displaystyle \mu \,}$	${\displaystyle \mu \,}$
log-normální	${\displaystyle 1-\Phi \left({\frac {\ln t-\mu }{\sigma }}\right)}$[pozn. 1]	${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma }}$	${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mu }}$
Weibullův	${\displaystyle \mathrm {e} ^{-({\frac {t}{\lambda }})^{\beta }}}$	${\displaystyle \lambda \Gamma (1+{\frac {1}{\beta }})}$[pozn. 2]	${\displaystyle \lambda \ln(2)^{\tfrac {1}{\beta }}}$
${\displaystyle \chi ^{2}}$	${\displaystyle {\frac {\gamma ({\tfrac {k}{2}},{\tfrac {t}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {k}{2}})}}}$[pozn. 3][pozn. 2]	${\displaystyle k\,}$	${\displaystyle \thickapprox k-{\tfrac {2}{3}}\,}$
logistický	${\displaystyle {\frac {1}{1+\mathrm {e} ^{\tfrac {x-\mu }{s}}}}}$	${\displaystyle \mu \,}$	${\displaystyle \mu \,}$
log-logistický	${\displaystyle {\frac {\alpha ^{\beta }}{t^{\beta }+\alpha ^{\beta }}}}$	${\displaystyle {\frac {\alpha \pi }{\beta \sin(\pi /\beta )}}}$	${\displaystyle \alpha \,}$

Poznámky

Reference

Související články

• Poločas přeměny
• Radioaktivita, zejména oddíl Zákon radioaktivního rozpadu