Unitární grupa

Unitární grupa je v matematice množina všech unitárních transformací nějakého Hilbertova prostoru spolu s operací skládání. V konečněrozměrném případě se dá reprezentovat jako množina všech unitárních matic dimenze n spolu s násobením matic. Tato grupa se značí ${\displaystyle U(n)}$.

Podobně se definuje speciální unitární grupa SU(n) jako množina unitárních matic s determinantem rovným jedné.

Vnoření unitárních matic do prostoru všech matic ${\displaystyle n\times n}$ definuje na unitární matici strukturu reálné hladké variety. Jedná se tedy o reálnou Lieovu grupu.

Vlastnosti

Unitární grupa je kompaktní a souvislá Lieova grupa (ačkoliv se skládá z komplexních matic, jedná se pouze o reálnou Lieovu grupu). Její dimenze je ${\displaystyle n^{2}}$. Fundamentální grupu má izomorfní ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Komplexifikace této grupy je celá obecná lineární grupa GL(n,C).

Jako grupa je U(n) izomorfní ${\displaystyle SU(n)\times U(1)}$ a U(1) je izomorfní jednotkovým komplexním číslům s operací násobení. Grupa SU(n) je jednoduchá pro ${\displaystyle n\geq 2}$ a je také jednoduše souvislá.

Grupa ${\displaystyle U(1)}$ je izomorfní ortogonální grupě ${\displaystyle SO(2)}$.

Grupa ${\displaystyle SU(2)}$ je topologická sféra dimenze 3 a jako grupa je izomorfní jednotkovým kvaternionům. Existuje surjektivní homomorfizmus

${\displaystyle SU(2)\to SO(3)}$

takový, že každý prvek SO(3) má právě dva vzory, které se liší jenom znaménkem.

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.