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Die Grundgleichung der Mechanik besagt, dass ein Körper der Masse eine Beschleunigung erfährt, die proportional zu der auf den Körper wirkenden Kraft ist. Sie lautet
Etwas anders und allgemeiner formuliert, drückt die Grundgleichung der Mechanik aus, dass eine Kraft gleich der Änderungsrate des Impulses des Körpers ist:
Falls mehrere Kräfte auf einen Körper einwirken, steht für die Vektorsumme dieser Kräfte, also für die so genannte resultierende Kraft.
Dieses Gesetz geht auf das zweite Newtonsche Axiom zurück, stammt aber in seiner heutigen Formulierung von Euler (?).
Zur Klärung der Benennung habe ich weitere 3,2 kg Literatur besorgt. In den Sachwortverzeichnissen von 4 deutschsprachigen Standardwerken findet sich der Begriff nicht, aber in diesen:
-- Heribert3 (Diskussion/Talk) 02:59, 28. Nov. 2022 (CET)
Das ersten Newtonsche Axiom besagt, dass sich alle kräftefreien Körper gleichförmig und geradlinig bewegen. Folglich sind für Änderungen des Bewegungszustands Kräfte erforderlich. Deswegen definierte Isaac Newton die Kraft durch die Änderungsrate des Impulses eines Körpers. Damit ergibt sich auch die Einheit der Kraft im internationalen Einheitensystem ganz zwanglos aus den Basiseinheiten:
Diese Einheit trägt seit 1913 den Namen „Newton“. Falls die Einheit der Kraft vorher schon auf andere Weise definiert wurde – wie beispielsweise früher die Einheit Kilopond – dann steht in der Grundgleichung der Mechanik ein Umrechnungsfaktor, der nur von der Definition der verwendeten Einheiten abhängt.
Die Grundgleichung der Mechanik kann auf drei verschiedene Weisen gelesen werden:
Meistens ist die Masse des beobachteten Körpers konstant. Dann reicht es, die Beschleunigung, also die Änderungsrate der Geschwindigkeit eines Körpers zu betrachten. Es gibt aber Fälle, in denen sich nicht nur seine Geschwindigkeit ändern kann, sondern auch seine Masse. In diesen Fällen ist es richtiger, die Kraft als Änderungsrate des Impulses zu verstehen.
Dies ist beispielsweise bei Raketentriebwerken von Bedeutung. Deren Schubkraft kann man aus dem Massendurchsatz berechnen, sofern man eine konstante Ausstoßgeschwindigkeit der Rückstoßmasse voraussetzt: .
Üblicherweise ist mit der Bezeichnung Grundgleichung der Mechanik nur diese Gleichung gemeint, also die Verknüpfung einer Kraft mit der Änderung des Impulses. Es gibt jedoch eine entsprechende Gleichung für die Wirkung eines Drehmoments als Änderung des Drehimpulses:
(Man erhält diese Gleichung, indem man die herkömmliche Grundgleichung der Mechanik vektoriell mit dem Radiusvektor multipliziert und gegebenenfalls über alle Massepunkte integriert.)
Im Allgemeinen ist die Kraft nicht konstant, sondern vom Ort und eventuell auch explizit von der Zeit abhängig. Gehen wir zunächst von einer Kraft auf einen Massepunkt aus, die zwar orts- aber nicht zeitabhängig ist . In diesem Fall lautet die Grundgleichung der Mechanik:
Dies ist eine homogene, gewöhnliche Differentialgleichung zweiten Grades. Ihre Lösungen sind die möglichen Trajektorien des Massepunktes.
Beispiele:
Die Grundgleichung der Mechanik ist auch dann prinzipiell gültig, wenn die Kraft geschwindigkeitsabhängig (Reibungskräfte, Lorentz-Kraft, ...) oder explizit zeitabhängig ist, oder wenn mehr als ein Massepunkt beteiligt ist. Dann wird jedoch die Formulierung und die insbesondere die Lösung erheblich komplizierter. Bereits das Dreikörper-Problem, d. h. die Bewegung von drei Körpern vergleichbarer Masse unter dem Einfluss ihrer gegenseitiger Gravitationswirkungen, ist nicht mehr analytisch lösbar.