Robinson-Arithmetik

Die Robinson-Arithmetik (auch: Q) ist ein endlich axiomatisiertes Fragment der Peano-Arithmetik, eines Axiomensystems der Arithmetik, also der natürlichen Zahlen, innerhalb der Prädikatenlogik erster Stufe. Sie wurde 1950 von Raphael Robinson eingeführt und entspricht im Wesentlichen der Peano-Arithmetik ohne das Axiomenschema der Induktion. Die Bedeutung der Robinson-Arithmetik rührt daher, dass sie endlich axiomatisierbar, aber nicht rekursiv vervollständigbar ist und sogar wesentlich unentscheidbar ist. Dies bedeutet, dass es keine konsistente entscheidbare Erweiterung der Robinson-Arithmetik gibt. Es gibt damit insbesondere auch keine vollständige rekursiv aufzählbare Erweiterung, da diese bereits rekursiv (entscheidbar) wäre.^[1]

Die Robinson-Arithmetik ist formuliert in der Prädikatenlogik erster Stufe mit Gleichheit, repräsentiert durch das Prädikat ${\displaystyle =}$. Ihre Sprache hat die Konstante ${\displaystyle \mathbf {0} }$ (genannt Null), die Nachfolgerfunktion ${\displaystyle S}$ (für successor: Nachfolger), welche intuitiv zu einer gegebenen Zahl 1 addiert, sowie die Funktionen ${\displaystyle +}$ für Addition und ${\displaystyle \times }$ für Multiplikation. Sie hat folgende Axiome, die elementare Eigenschaften der natürlichen Zahlen und der arithmetischen Operationen formalisieren:^[2]

• Null hat keinen Vorgänger: ${\displaystyle Sx\not =\mathbf {0} }$
• Verschiedene Zahlen haben verschiedene Nachfolger: ${\displaystyle (Sx=Sy)\rightarrow x=y}$
• Jede Zahl ist gleich Null oder hat einen Vorgänger: ${\displaystyle y=\mathbf {0} \vee \exists x(Sx=y)}$
• Rekursive Definition von Addition und Multiplikation:
  • ${\displaystyle x+\mathbf {0} =x}$
  • ${\displaystyle x+Sy=S(x+y)}$
  • ${\displaystyle x\times \mathbf {0} =\mathbf {0} }$
  • ${\displaystyle x\times Sy=(x\times y)+x}$

Die Robinson-Arithmetik spielt insbesondere beim Beweis des ersten Gödelschen Unvollständigkeitssatzes eine Rolle, da sich innerhalb von Q und ebenso in konsistenten axiomatischen Erweiterungen von Q die Beziehung „… ist ein Beweis der Formel …“ repräsentieren lässt.^[3]

Dabei bedeutet Repräsentierbarkeit eines Prädikats ${\displaystyle P}$, dass es eine Formel ${\displaystyle \alpha =\alpha (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ gibt, so dass für alle natürlichen Zahlen ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ gilt:

(+) falls ${\displaystyle P(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ der Fall ist, dann ist die Aussage ${\displaystyle \alpha ({\underline {a_{1}}},\ldots ,{\underline {a_{n}}})}$ in Q beweisbar,

(-) falls ${\displaystyle P(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ nicht zutrifft, dann ist die Aussage ${\displaystyle \neg \alpha ({\underline {a_{1}}},\ldots ,{\underline {a_{n}}})}$ in Q beweisbar.^[4]

Der Term ${\displaystyle {\underline {a}}}$ ist dabei wie folgt definiert:

${\displaystyle {\underline {0}}=\mathbf {0} }$,

${\displaystyle {\underline {n+1}}=S{\underline {n}}}$.^[5]

Das zugehörige Beweisbarkeitsprädikat „… ist beweisbar“ (d. h. „es gibt ein ${\displaystyle b}$, das ein Beweis der Formel … ist“) ist nicht in Q repräsentierbar, weil keine seiner negativen Instanzen („die Formel … ist nicht beweisbar“) in Q beweisbar ist. Es kann jedoch durch eine Σ₁-Formel ausgedrückt werden, und daher folgt aus der Σ₁-Vollständigkeit von Q,^[6] dass jede seiner positiven Instanzen beweisbar ist. Unter Σ₁-Vollständigkeit ist hier zu verstehen, dass jede Σ₁-Aussage (der Sprache von Q), die für die natürlichen Zahlen gilt, auch in Q beweisbar ist.^[7]

Q ist bereits in relativ schwachen Subtheorien von ZFC interpretierbar, etwa im sogenannten Tarski-Fragment TF,^[8] das nur aus folgenden drei Axiomen besteht: dem Extensionalitätsaxiom (auch Axiom der Bestimmtheit), dem Leermengenaxiom (auch Nullmengenaxiom: die leere Menge existiert) und dem Axiom, welches für zwei Mengen ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ die Existenz der adjungierten Menge ${\displaystyle x\cup \{y\}}$ fordert.

• A. Bezboruah, John C. Shepherdson: Gödel’s Second Incompleteness Theorem for Q. In: Journal of Symbolic Logic. Band 41, Nr. 2, 1976, S. 503–512, JSTOR:2272251. 
• George S. Boolos, John P. Burgess, Richard C. Jeffrey: Computability and Logic. 5. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge etc. 2007. 
• Petr Hájek, Pavel Pudlák: Metamathematics of first-order arithmetic. 2. Auflage. Springer-Verlag, 1998. 
• Raphael Robinson: An Essentially Undecidable Axiom System. In: Proceedings of the International Congress of Mathematics. 1950, S. 729–730. 
• Alfred Tarski, Andrzej Mostowski, Raphael Robinson: Undecidable theories. North Holland, 1953. 
• Hans Hermes: Einführung in die mathematische Logik. 2. Auflage. B. G. Teubner Stuttgart, 1969. 
• Wolfgang Rautenberg: Einführung in die Mathematische Logik. 3. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0578-2, doi:10.1007/978-3-8348-9530-1. 
• Donald Monk: Mathematical Logic (= Graduate Texts in Mathematics. Band 37). Springer, New York 1976, ISBN 0-387-90170-1. 

1. ↑ Rautenberg (2008), Satz 6.4.4, S. 191
2. ↑ George Boolos, John P. Burgess, Richard Jeffrey: Computability and Logic. 4. Auflage. Cambridge University Press, 2002, ISBN 0-521-70146-5, S. 56. 
3. ↑ W. Rautenberg (2008), S. 186.
4. ↑ W. Rautenberg (2008), S. 184.
5. ↑ W. Rautenberg (2008), S. 83.
6. ↑ W. Rautenberg (2008), S. 190.
7. ↑ W. Rautenberg (2008), S. 186.
8. ↑ D. Monk (1976), S. 283–290.