Heronin kaava

Heronin kaavalla voidaan laskea kolmion pinta-ala, kun tiedetään sen kaikkien sivujen pituudet.

Formaalisti: Olkoon kolmion sivujen pituudet a, b ja c. Tällöin kolmion pinta-ala A saadaan kaavasta

${\displaystyle A={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$, jossa ${\displaystyle p=(a+b+c)/2}$ on puolet kolmion piiristä.

Heronin kaava saa muodon

${\displaystyle A={\ {\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\,}}\ \over 4}{\rm {,}}}$

kun ${\displaystyle p}$:n lauseke sijoitetaan yllä olevaan kaavaan.

Kun merkitään ${\displaystyle S_{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ ja ${\displaystyle S_{4}=a^{4}+b^{4}+c^{4}}$, saa kaava muodon

${\displaystyle A={1 \over 4}{\sqrt {S_{2}^{2}-2S_{4}}}.}$

Historiaa

Kaava on nimetty ensimmäisellä vuosisadalla eläneen Heron Aleksandrialaisen mukaan. Heronin kaavan todistus esiintyy hänen kirjoittamassaan kirjassa Metrica. On myös uskottu, että jo Arkhimedes tunsi kaavan, mutta on myös mahdollista, että kaava tunnettiin paljon ennen Arkhimedesta.

Heronin kaava korkeusjanojen pituuksien avulla

Heronin kaava voidaan kirjoittaa myös sellaiseen muotoon, jossa pinta-ala lausutaan kolmion sivujen pituuksien sijasta sen korkeusjanojen pituuksien ${\displaystyle h_{1}}$, ${\displaystyle h_{2}}$ ja ${\displaystyle h_{3}}$ avulla.

Asetetaan ${\displaystyle d={\frac {2}{h_{1}}}}$, ${\displaystyle e={\frac {2}{h_{2}}}}$ ja ${\displaystyle f={\frac {2}{h_{3}}}}$.

Tällöin

${\displaystyle A={\frac {1}{\sqrt {q(q-d)(q-e)(q-f)}}}}$, jossa ${\displaystyle q=(d+e+f)/2}$

Katso myös

• Brahmaguptan kaava

Aiheesta muualla

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Heronin kaava.

• http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html (englanniksi) Kaava ja trigonometrinen todistus.
• http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.2000/Umberger/MATH7200/HeronFormulaProject/GeometricProof/geoproof.html (Arkistoitu – Internet Archive) Heronin kaavan geometrinen todistus.
• http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/herons.shtml (englanniksi) Suorakulmaisille kolmioille