Paraabeli

Paraabeli (kreik. παραβολή, parabolḗ, vanh. myös parabeli) on matemaattinen tasokäyrä. Se on eräs kartioleikkauksista. Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on paraabeli. Paraabelilla kartioleikkauksena on ominaisuus, että sen kaltevuuskulma on aina yhtäsuuri kuin kyseistä paraabelia vastaavan ympyräkartion sivujanan kaltevuuskulma.

Geometrinen määritelmä ja nimityksiä

Olkoon l tason suora ja P piste, joka ei ole suoralla l. Näihin liittyvä paraabeli on niiden pisteiden joukko, jotka ovat yhtä etäällä sekä suorasta l että pisteestä P. Suoraa l kutsutaan paraabelin johtosuoraksi ja pistettä P (myös F) polttopisteeksi.

Paraabelin akseli on polttopisteen kautta kulkeva johtosuoran normaali. Paraabeli on symmetrinen akselinsa suhteen. Paraabelin huippu on paraabelin leikkauspiste akselinsa kanssa.

Paraabeli analyyttisessä geometriassa

Pystysuora symmetria-akseli

Jos paraabelin akseli on pystysuora, on paraabelin yhtälö karteesisessa koordinaatistossa ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$. Tässä kertoimet a, b ja c ovat reaalilukuja ja lisäksi a on nollasta eroava.

Kertoimen a merkistä riippuu paraabelin aukeamissuunta: jos ${\displaystyle a>0}$, aukeaa paraabeli ylöspäin, jos taas ${\displaystyle a<0}$, aukeaa paraabeli alaspäin.

Paraabelin ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ huippupisteen x-koordinaatti on

${\displaystyle \displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}.}$

Tämä voidaan perustella differentiaalilaskennan avulla derivoimalla funktio ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ ja määräämällä derivaatan nollakohta. Huippupisteen y-koordinaatti on

${\displaystyle \displaystyle y=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\cdot \left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c={\frac {b^{2}}{4a}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c=c-{\frac {b^{2}}{4a}}={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}.}$

Vaakasuora symmetria-akseli

Jos paraabelin akseli on vaakasuora, on sen yhtälö ${\displaystyle x=ay^{2}+by+c}$. Kertoimen a merkitys ja huippukohta ovat analogiset edellisten kanssa.

Yleinen paraabeli

Yleiselle paraabelille, jonka polttopiste on ${\displaystyle F(u,v)}$ ja jonka johtosuora on muotoa ${\displaystyle ax+by+c=0}$, pätee yhtälö

${\displaystyle {\frac {\left(ax+by+c\right)^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}.\,}$

Paraabeli funktion kuvaajana

Toisen asteen polynomifunktioiden kuvaajat ovat paraabeleja. Yksinkertaisin tällainen funktio on ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$. Kuvaajan muotoon ja sijaintiin vaikuttavat funktion ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ parametrit ${\displaystyle a,b}$ ja ${\displaystyle c}$.

Parametri ${\displaystyle a}$ vaikuttaa yleisesti paraabelin jyrkkyyteen, siis siihen, kuinka jyrkästi paraabeli aukeaa ylös tai alas. Parametrin ${\displaystyle a}$ arvo määrää myös paraabelin aukeamissuunnan: positiivisella ${\displaystyle a}$:lla varustetun funktion kuvaaja aukeaa ylöspäin, ja negatiivisella ${\displaystyle a}$:lla varustetun alaspäin.

Parametri ${\displaystyle b}$ vaikuttaa puolestaan kuvaajan sijaintiin sivusuunnassa ja myös pystysuunnassa. Voidaan myös huomata, että funktion ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ kuvaajan huippupiste siirtyy ${\displaystyle b}$:n vaihdellessa funktion ${\displaystyle g(x)=-ax^{2}+c}$ kuvaajaa pitkin. Perustelu tälle mielenkiintoiselle havainnolle saadaan siitä, että paraabelin ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ huippupisteen koordinaatit ${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$ ja ${\displaystyle y={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}$ toteuttavat yhtälön

${\displaystyle y={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}=-{\frac {b^{2}}{4a}}+{\frac {4ac}{4a}}=-a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+c=-ax^{2}+c,}$

ja ovat siis funktion ${\displaystyle g(x)=-ax^{2}+c}$ kuvaajalla.

Pisteen kautta kulkeva tangentti

Tarkastellaan paraabelia ${\displaystyle y=f(x)=ax^{2}+bx+c}$, missä ${\displaystyle a\not =0}$.

Pisteen ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ kautta kulkevien tämän paraabelin tangenttien sivuamispisteiden koordinaatit saadaan tällöin yhtälöistä

${\displaystyle {\begin{cases}x_{i}=x_{0}\pm {\sqrt {\frac {f(x_{0})-y_{0}}{a}}}\\y_{i}=f(x_{i})\end{cases}}}$

Juurrettavan arvosta riippuen saadaan nolla, yksi tai kaksi tangenttia.

Jos ${\displaystyle y_{0}=f(x_{0})}$, ts. piste sijaitsee tarkastellulla paraabelilla, saadaan yksi tangentti, jonka yhtälö saadaan kaavasta

${\displaystyle y=f'(x_{0})(x-x_{0})+y_{0}}$

Kun yo. yhtälön juurrettava ${\displaystyle {\frac {f(x_{0})-y_{0}}{a}}>0}$ saadaan kaksi sivuamispistettä ja kaksi tangenttia.

Kun ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$, missä ${\displaystyle x_{i}\not =x_{0}}$, on tällaisen tangentin sivuamispiste, sen yhtälö saadaan kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälöstä

${\displaystyle y={\frac {y_{i}-y_{0}}{x_{i}-x_{0}}}(x-x_{0})+y_{0}}$

Paraabelin peilaaminen huippupisteen suhteen

Tarkastellaan paraabelia ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$, ${\displaystyle a\neq 0}$, ja sen peilaamista huippupisteen ${\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\right)}$ kautta kulkevan tangenttinsa suhteen eli paraabelin "kääntämistä ylösalaisin" huippupisteen pysyessä paikallaan. Tämä voidaan ajatella tehtävän kahdessa vaiheessa:

(1) Peilataan paraabeli ensin ${\displaystyle y}$-akselin suhteen. Tämä vaihtaa ${\displaystyle y}$-koordinaatin etumerkin, ja päädytään paraabeliin ${\displaystyle y=-ax^{2}-bx-c}$, jonka huippu on pisteessä ${\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\right)}$.

(2) Siirretään näin saatua paraabelia ${\displaystyle y=-ax^{2}-bx-c}$ pystysuunnassa siten, että huippupiste tulee alkuperäisen paraabelin huippupisteeseen. Tarvittava pystysuuntainen siirto on suuruudeltaan ${\displaystyle 2\cdot {\frac {4ac-b^{2}}{4a}}={\frac {4ac-b^{2}}{2a}}}$. Tämä on selvää, koska huippupisteen ${\displaystyle x}$-koordinaatti ei muuttunut vaiheessa (1), mutta ${\displaystyle y}$-koordinaatti muuttui vastaluvuksi. Siirto johtaa paraabeliin

${\displaystyle y=-ax^{2}-bx-c+{\frac {4ac-b^{2}}{2a}}}$

eli

${\displaystyle y=-ax^{2}-bx+{\frac {2ac-b^{2}}{2a}}}$.

Näin saadun paraabelin huippu on huippupisteen laskukaavan mukaisesti pisteessä ${\displaystyle \left({\frac {b}{2(-a)}},{\frac {4(-a)\cdot {\frac {2ac-b^{2}}{2a}}-(-b)^{2}}{4(-a)}}\right)=\left(-{\frac {b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\right)}$, siis samassa pisteessä kuin alkuperäisen paraabelin huippupiste, kuten pitikin.

Kun siis ajatellaan, että paraabeli on kiinni vain huippupisteestään, ja se käännetään ylösalaisin, päädytään paraabeliin ${\displaystyle y=-ax^{2}-bx+{2ac-b^{2} \over 2a}}$.

Esimerkki. Paraabelin ${\displaystyle y=2x^{2}+x+1}$ peilikuva, eli "käännetty" paraabeli, on siis ${\displaystyle y=-2x^{2}-x+0,75}$.

Paraabelin ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ "kääntämisen" kaava on siis: ${\displaystyle y=-ax^{2}-bx+{2ac-b^{2} \over 2a}}$.

Lähteet

Kirjallisuutta

• Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria. Espoo: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6.