Suorakulmio

Osa artikkelisarjaa Geometria

Tasogeometria Piste Suora Käyrä Taso Pinta Pinta-ala Pituus Kulma Trigonometria Ympyrä Ellipsi Monikulmio Kolmio Nelikulmio Suorakulmio Neliö Suunnikas Neljäkäs Puolisuunnikas Avaruusgeometria Tilavuus Avaruuskappale Pallo Kartio Lieriö Särmiö Suuntaissärmiö Suorakulmainen särmiö Säännöllinen monitahokas Platonin kappale Tetraedri Heksaedri eli kuutio Oktaedri Dodekaedri Ikosaedri Keplerin–Poinsot'n kappale Euklidinen geometria Paralleeliaksiooma Epäeuklidinen geometria Hyperbolinen geometria Elliptinen geometria Analyyttinen geometria

Suorakulmio eli suorakaide on geometriassa yksinkertainen nelikulmio, jonka kaikki kulmat ovat määritelmän mukaan suoria eli 90°. Tästä seuraa, että nelikulmion vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät ja yhdensuuntaiset. Neliö on suorakulmio, jonka kaikki sivut ovat samanpituisia. Neliötä kutsutaan myös säännölliseksi tai tasasivuiseksi suorakulmioksi. Kaikki suorakulmiot ovat suunnikkaita. Lähin vastine suorakulmiolle avaruusgeometriassa on suora suuntaissärmiö. Suorakulmio merkitään ${\displaystyle \Box ABCD}$.

Ominaisuuksia

Sivut, lävistäjät, bimediaanit ja korkeusjanat

Suorakulmiolla on monia suunnikkaille yhteisiä ominaisuuksia. Niitä ovat esimerkiksi samanpituiset ja yhdensuuntaiset sivut, jotka ovat suorakulmion vastakkaisilla puolilla siten, että a = c ja b = d. Sen sijaan suorakulmion lävistäjät ovat yhtä pitkät (q = r), vaikka suunnikkailla ne ovat pääsääntöisesti eripituiset.

Suorakulmion lävistäjät ovat yhtä pitkät ja ne puolittavat toisensa leikkauspisteessä E. Samassa pisteessä leikkaavat toisensa suorassa kulmassa bimediaanit, jotka ovat vastakkaisten sivujen keskipisteitä yhdistävät janat. Koska bimediaanit ovat yhdensuuntaisia vierekkäisten sivujen kanssa, puolittavat ne suorakulmion kahdeksi pienemmäksi suorakulmioksi. Bimediaanit ovat myös suorakulmion symmetria-akselit.

Symmetriapiste, keskipiste ja ympäri piirretty ympyrä

Sekä lävistäjien että bimediaanien päätepisteet sijaitsevat symmetrisesti pisteen E suhteen. Itse asiassa, kaikki suorat, jotka kulkevat pisteen E kautta, leikkautuvat piirillä p janoiksi, joiden keskipiste E on. Pistettä E kutsutaan siksi keskipisteeksi ja symmetrian takia symmetriapisteeksi.

Symmetrian vuoksi on aina mahdollista piirtää suorakulmion ympäri ympyrä siten, että suorakulmion kärjet ovat ympyrän kehällä. Suorakulmion lävistäjät ovat silloin ympyrän halkaisijat ja ympyrän säde on halkaisijan puolikas.

Kulmat

Suorakulmion sisäkulmien summa on 360°, ja koska ne kaikki ovat yhtäsuuria, ovat ne kaikki 90°. Myös suorakulmion ulkokulmat ovat 90° (esimerkiksi θ).

Lävistäjät leikkaavat toisensa symmetriapisteessä E ja kulman ε ja λ suuruus riippuu sivujen pituuksista. Kulmilla ε ja λ on E:ssä ristikulmat ja kulmat ε ja λ ovat vieruskulmia eli ε + λ = 180°. Lävistäjän ja sivun väliin jää osa sisäkulmasta ja se on yhtäsuuri kuin kulma ε = 2α ja λ = 2γ.

Mittoja

${\displaystyle p=a+b+c+d=a+b+a+b=2(a+b)}$

${\displaystyle h_{a}=b={\frac {A}{a}}}$ ja ${\displaystyle h_{b}=a={\frac {A}{b}}}$

${\displaystyle q=r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}q}$ (ympäri piirretyn ympyrän säde R )

Pinta-ala

Suorakulmion pinta-alan A laskutapa voidaan päätellä esimerkiksi neliöillä. Suorakulmion kanta on a = 5 pituusyksikköä ja korkeus h_a = 4 yksikköä, sen pinta-ala on suuruudeltaan 5•4 = 20 neliöyksikköä. Tämä lasketaan yleisesti

${\displaystyle A=ah_{a}=ab}$ tai ${\displaystyle A=bh_{b}=ba.}$

Ala voidaan lausua myös lävistäjien ja niiden välisellä kulmalla

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}q^{2}\sin \epsilon .}$

Erityispiirteitä

Konveksi nelikulmio on suorakulmio, jos ja vain jos,

• se on tasakulmainen monikulmio.
• se on suunnikas vähintään yhdellä suoralla kulmalla.
• se on suunnikas tasapitkillä lävistäjillä.
• sen pinta-ala voidaan laskea ${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}}.}$
• sen pinta-ala voidaan laskea ${\displaystyle A={\frac {a+c}{2}}\cdot {\frac {b+d}{2}}.}$ (muinainen egyptiläinen approksimaatio)

Erityisiä suorakulmioita

Neliö

Neliö on säännöllinen suorakulmio, jonka sivut ja kulmat ovat kaikki yhtä suuria. Sillä on suunnikkaana kaikki suorakulmion ja neljäkkään ominaisuudet.

Kultainen suorakulmio

Kultainen suorakulmio on sivuiltaan sellainen, että jos siitä erottaa neliön, jäljelle jäävä osa on alkuperäisen suorakulmion muotoinen. Sivujen pituuksien suhde muodostaa kultaisen leikkauksen.

Lähteet

• Väisälä, Kalle: Geometria. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf).
• Alatupa, Sami et al.: Pitkä Sigma 3. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Otava, 2008. ISBN 978-951-26-5927-2.
• Kontkanen, Pekka & al.: Pyramidi 3. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Tammi, 2005. ISBN 978-951-26-5059-0.

Viitteet