Déviation vers l'est

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La déviation vers l'est est un phénomène physique correspondant au fait qu'un corps en chute libre ne suit pas exactement la direction de la pesanteur, mais est légèrement dévié vers l'est par la force de Coriolis résultant de la rotation de la Terre. À partir de la fin de XVIII^e siècle, ce phénomène donna lieu à plusieurs expériences pour être mis en évidence, en particulier celles de Ferdinand Reich, en 1831. Reich fit tomber des projectiles dans un puits de mine de 158 m de profondeur à Freiberg. Il observa une déviation de 28 mm vers l'est.

Cette déviation est liée au sens de rotation de la Terre. Sur un astre tournant dans le sens inverse, la déviation serait vers l'ouest.

Ce phénomène s'explique par la présence de la force de Coriolis qui apparaît dans les équations du mouvement car le référentiel du corps en mouvement, lié à la Terre, est en rotation et donc il n'est pas galiléen. L'existence de cette déviation prouve, au même titre que l'expérience du pendule de Foucault, que la Terre tourne sur elle-même, sans avoir recours à la moindre observation astronomique. La vérification de la cohérence des résultats observés avec les prévisions théoriques données par la mécanique newtonienne a été un défi expérimental.

Histoire

La déviation vers l'est est prévue — semble-t-il pour la première fois — par Newton dans une lettre adressée à Hooke le 28 novembre 1679. Newton remarque qu'un point A situé à l'équateur à une hauteur $h$ au dessus du sol a une vitesse $\Omega (R+h)$ , où $\Omega$ est la vitesse de rotation de la Terre et $R$ son rayon. Cette vitesse est plus grande que la vitesse du point O situé sur le sol à la verticale descendante de A. Cette différence de vitesse correspond à une petite vitesse vers l'est de $\Omega h$ , il y a donc une déviation vers l'est.

C'est avec difficulté que la déviation vers l'est est mise en évidence par des expériences : en 1790-1791 par l'abbé Guglielmini (1760-1817)^, ; en 1794-1795 par Tadini ; puis en 1802-1804 par Benzenberg^,. En 1803, Laplace et Gauss obtiennent, indépendamment l'un de l'autre, l'expression mathématique de la déviation vers l'est^,. Les expériences de Reich en 1831 sont considérées comme la preuve de la déviation, bien que l'incertitude des mesures soient largement supérieure à la déviation elle-même. Elles sont confirmées au début du XX^e siècle par Hall en 1902^, et par Flammarion en 1903^,^,. L'existence de la déviation est vérifiée en 1912 par Hagen^,^, et l'année suivante par Gianfrancheschi (de)^,^,, tous deux à l'aide d'une machine d'Atwood.

Formule de déviation vers l'est

Expression simplifiée

La longueur $D$ , en mètres, de cette déviation est donnée par la formule approchée^,^, :

D={\frac {2}{3}}\Omega {\sqrt {\frac {2h^{3}}{g}}}\cos \varphi

,

où :

$\Omega$ est la vitesse angulaire de rotation de la Terre, exprimée en radians par seconde ;
$g$ est l'accélération de la pesanteur, exprimée en mètres par seconde carrée ;
$h$ est la hauteur de la chute, exprimée en mètres ;
$\varphi$ est la latitude du point auquel a lieu la chute, exprimée en radians.

La déviation vers l'est est maximale à l'équateur et est nulle au pôle Nord comme au pôle Sud.

Équation rigoureuse

La force de Coriolis a pour expression :

{\vec {F}}_{C}=-2m\cdot {\vec {\Omega }}\wedge {\vec {v}}

,

où :

${\vec {F}}_{C}$ est la force d'inertie de Coriolis ;
$m$ est la masse du corps en chute ;
${\vec {\Omega }}$ est le vecteur vitesse angulaire instantanée de rotation de la Terre ;
${\vec {v}}$ la vitesse instantanée du corps dans le référentiel terrestre.

Le vecteur ${\vec {\Omega }}$ étant colinéaire à l'axe de rotation de la Terre, dirigé vers le nord, et ${\vec {v}}$ orienté vers le centre de la Terre, le produit vectoriel résultant est orienté vers l'ouest, donc la force de Coriolis vers l'est. Cette force dépend de la latitude de l'objet, de sa masse et de sa vitesse de chute.

La vitesse du corps en chute libre au point M est ${\vec {v}}={\frac {d{\vec {AM}}}{dt}}$ , où A est le point d'origine, référentiel tournant lié à la surface de la Terre.

Le principe fondamental de la dynamique permet d'écrire l'accélération comme somme de la force d'attraction de la Terre et de la force de Coriolis :

{\frac {d^{2}{\vec {AM}}}{dt^{2}}}={\frac {1}{m}}(m{\vec {g}}+{\vec {F_{C}}})={\vec {g}}-2{\vec {\Omega }}\wedge {\frac {d{\vec {AM}}}{dt}}

,

où ${\vec {g}}$ est le vecteur accélération de la pesanteur dirigé selon la verticale descendante.

Résolution

On intègre une fois pour trouver la vitesse :

{\frac {d{\vec {AM}}}{dt}}=t\cdot {\vec {g}}-2{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {AM}}

,

On suppose pour cela $g$ et $\Omega$ constants. Le modèle utilisé suppose une hauteur de chute pas trop grande et donc une durée de chute également pas trop grande. La constante d'intégration est nulle car la vitesse initiale est nulle.

On obtient ainsi un système différentiel linéaire, qui est donc mathématiquement soluble de façon exacte, la solution étant :

{\vec {AM}}={\frac {1-\cos(2\Omega t)}{4\Omega ^{2}}}\cdot {\vec {g}}+\left({\frac {\sin(2\Omega t)}{4\Omega ^{3}}}-{\frac {t}{2\Omega ^{2}}}\right)\cdot {\vec {\Omega }}\wedge {\vec {g}}+\left({\frac {t^{2}}{2\Omega ^{2}}}-{\frac {1-\cos(2\Omega t)}{4\Omega ^{4}}}\right)\langle {\vec {\Omega }}|{\vec {g}}\rangle \cdot {\vec {\Omega }}

Démonstration

Décomposons ${\vec {AM}}$ dans la base (non orthonormée) $({\vec {g}},{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {g}},{\vec {\Omega }}$ ) et notons (a, b, c) les composantes. Compte tenu du fait que ${\vec {\Omega }}\wedge ({\vec {\Omega }}\wedge {\vec {g}})=\langle {\vec {\Omega }}|{\vec {g}}\rangle {\vec {\Omega }}-\Omega ^{2}{\vec {g}}$ , le système à résoudre s'écrit :

{\begin{cases}a'&=t+2b\Omega ^{2}\\b'&=-2a\\c'&=-2\langle {\vec {\Omega }}|{\vec {g}}\rangle b\end{cases}}

On en déduit que $a''=1+2b'\Omega ^{2}=1-4a\Omega ^{2}$ . La solution générale de cette équation différentielle du second ordre est $a={\frac {1}{4\Omega ^{2}}}+\lambda \cos(2\Omega t)+\mu \sin(2\Omega t)$ . On en déduit que :

b={\frac {a'-t}{2\Omega ^{2}}}={\frac {-t}{2\Omega ^{2}}}-\lambda {\frac {\sin(2\Omega t)}{\Omega }}+\mu {\frac {\cos(2\Omega t)}{\Omega }}

Sachant que $a(0)=b(0)=0$ , on a $\lambda =-{\frac {1}{4\Omega ^{2}}},\mu =0$ et donc :

a={\frac {1-\cos(2\Omega t)}{4\Omega ^{2}}}

b={\frac {-t}{2\Omega ^{2}}}+{\frac {\sin(2\Omega t)}{4\Omega ^{3}}}

Enfin, $c'=-2\langle {\vec {\Omega }}|{\vec {g}}\rangle b=({\frac {t}{\Omega ^{2}}}-{\frac {\sin(2\Omega t)}{2\Omega ^{3}}})\langle {\vec {\Omega }}|{\vec {g}}\rangle$ et $c(0)=0$ donnent :

c=({\frac {t^{2}}{2\Omega ^{2}}}-{\frac {1-\cos(2\Omega t)}{4\Omega ^{4}}})\langle {\vec {\Omega }}|{\vec {g}}\rangle

La solution n'étant valide que pour des valeurs de t petites, on peut calculer des développements limités de chaque terme. Le premier terme est équivalent à ${\frac {t^{2}}{2}}\cdot {\vec {g}}$ pour les petites valeurs de t, ce qui correspond au mouvement de la chute libre sans force de Coriolis. Le second est équivalent à $-{\frac {t^{3}}{3}}\cdot {\vec {\Omega }}\wedge {\vec {g}}$ qui donne la déviation vers l'est observée. Le dernier terme est équivalent à ${\frac {t^{4}}{6}}\langle {\vec {\Omega }}|{\vec {g}}\rangle \cdot {\vec {\Omega }}$ dont la projection sur le méridien donne une déviation supplémentaire vers l'équateur.

Cependant, on préfère généralement déterminer ces termes supplémentaires en exprimant une solution approchée à l'aide de la méthode perturbative : dans un premier temps, on résout l'équation sans la force de Coriolis, puis on rajoute une force de Coriolis dérivant de la solution précédente afin d'obtenir une première correction donnant la déviation vers l'est, puis on réinjecte cette solution corrigée pour obtenir une deuxième correction donnant une déviation vers l'équateur. Pour cela, on introduit la déviation ${\vec {D}}$ par rapport à la chute libre sans force de Coriolis.

{\vec {AM}}={\frac {t^{2}}{2}}\cdot {\vec {g}}+{\vec {D}}(t)

L'intégration de l'équation trouvée précédemment donne l'expression de la déviation : ${\vec {D}}(t)=-2{\vec {\Omega }}\wedge \int _{0}^{t}{\vec {AM}}dt$ (qui s'annule en l'origine A).

Approximation du premier ordre

La déviation vers l'est étant petite devant la déviation due à la pesanteur, on prend comme approximation :

{\vec {AM}}(t)\approx {\frac {t^{2}}{2}}\cdot {\vec {g}}

,

d'où le résultat :

{\vec {D}}(t)\approx -2{\vec {\Omega }}\wedge \int _{0}^{t}\left({\frac {t^{2}}{2}}\cdot {\vec {g}}\right)dt=-{\frac {t^{3}}{3}}\cdot {\vec {\Omega }}\wedge {\vec {g}}

qui est valide si $D$ est petit devant la hauteur de chute $h$ , c’est-à-dire pour $T_{0}$ (temps de chute) petit devant $T$ = 86 164 s (période sidérale) :

D(T_{0})\approx -{\frac {T_{0}^{3}}{3}}\cdot {\vec {\Omega }}\wedge {\vec {g}}={\frac {T_{0}^{2}}{3}}\cdot T_{0}\cdot (-{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {g}})

soit, en valeur absolue :

D\approx {\frac {2}{3}}\Omega \,T_{0}\,h\cos \varphi ={\frac {2}{3}}\Omega {\sqrt {\frac {2h^{3}}{g}}}\cos \varphi

Approximation du second ordre

Si l'on prend maintenant : ${\vec {AM}}={\frac {t^{2}}{2}}\cdot {\vec {g}}-{\frac {t^{3}}{3}}\cdot {\vec {\Omega }}\wedge {\vec {g}}$ pour calculer la déviation ${\vec {D}}(t)$ , il apparaît un autre terme, encore plus faible, qui donne une déviation vers le sud dans l'hémisphère nord, et vers le nord dans l'hémisphère sud : il vaut en valeur absolue ${\frac {1}{6}}g\Omega ^{2}t^{4}\sin \varphi \cos \varphi \simeq {\frac {2}{3}}{\frac {h^{2}\Omega ^{2}}{g}}\sin \varphi \cos \varphi$ .

Compléments

Une grande question que se posaient les théoriciens : en réduisant la Terre à un point massique central, quelle serait la déviation sur une chute de R = 6 400 km ? En utilisant l'ellipse de Kepler, on trouve : D = paramètre de l'ellipse = R·(1/17)² = R/289 soit environ 22 kilomètres.
On peut remarquer la parenté de l'équation de la force de Coriolis avec celle de l'effet Hall en électricité.

Notes et références

Notes

↑ Du haut de la tour Asinelli à Bologne.
↑ Du haut de la tour de l'église Saint-Michel à Hambourg.
↑ Dans une tour à Harvard.
↑ Avec des billes d'acier lâchées du haut de la coupole du Panthéon à Paris.

Références

↑ Gapaillard 1992, concl., p. 302-303.
↑ ^{a b et c} Sivardière 2003, § 1.2.2, p. 29.
↑ ^{a b et c} Larcher 2010, p. 31, col. 2.
↑ Giannini 2015, résumé.
↑ Laplace 1803.
↑ Gauss 1803.
↑ ^{a et b} Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v.déviation vers l'est, p. 205, col. 1.
↑ Gerkema et Gostiaux 2009, p. 18, col. 3, et p. 19, col. 1.
↑ Gilbert 1882, p. 17.
↑ ^{a et b} Sivardière 2003, § 1.2.2, p. 29-30.
↑ Flammarion 1903.
↑ ^{a et b} Larcher 2010, p. 32, col. 1.
↑ ^{a et b} Sivardière 2003, § 1.2.2, p. 30.
↑ French 1984, p. 199, col. 1-2.
↑ Hagen 1912.
↑ French 1984, p. 199, col. 2.
↑ Gianfranceschi 1913.
↑ Gerkema et Gostiaux 2009, p. 19, col. 1.
↑ Chamaraux et Clusel 2002, s.v. déviation vers l'est.
↑ Richard Taillet, « Déviation vers l’est lors d’une chute libre » (consulté le 25 mars 2020)

Voir aussi

Bibliographie

Boyd, J.N. & Raychowdhury, P.N. Coriolis acceleration without vectors, Am. J. Phys., 1981, Vol. 49(5), pp. 498-499
Philippe Gilbert, « Les preuves mécaniques de la rotation de la Terre », Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, rédigé par M. Darboux. Paris, 2^e série, t. 6, n^o 1,‎ 1882, p. 189-205 (lire en ligne)
Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, t. 1 : Mécanique [détail des éditions]
Mohazzabi, P. Free fall and angular momentum, Am. J. Phys., 1999, Vol. 67(11), pp. 1017-1020
Potgieter, J.M. An exact solution for the horizontal deflection of a falling object, Am. J. Phys., 1983, Vol. 51(3), pp. 257-258
Stirling, D.R. The eastward deflection of a falling object, Am. J. Phys., 1983, Vol. 51(3), pp. 236
Wild, J.F. Simple Non-Coriolis Treatments for Explaining Terrestrial East-West Deflections, Am. J. Phys., 1973, Vol. 41(9), pp. 1057-1059

Publications originales

(la) Giambattista Guglielmini, De diurno terrae motu experimentis physico-mathematicis confirmato opusculum, Bologne, 1792, 1 vol., 90-, ill., in-8^o (OCLC 34242700, BNF 30553969, SUDOC 042857767).
Pierre-Simon de Laplace, « Mémoire sur le mouvement d'un corps qui tombe d'une grande hauteur », Bulletin des sciences, Société philomathique de Paris,‎ 1803, p. 109-111 (résumé, lire en ligne).
(de) Carl Friedrich Gauss, Fundamentalgleichungen für die Bewegung schwerer Körper auf der rotierenden Erde, 1803.
(de) Ferdinand Reich, Fallversuche über die Umdrehung der Erde : angestellt auf hohe oberbergamtliche Anordnung in dem Drei-Brüderschachte bei Freiberg, Freiberg, J. G. Engelhardt, 1832, 1 vol., 48, ill., in-4^o (OCLC 230667815, BNF 31190231, SUDOC 025380923, lire en ligne).
Camille Flammarion, « Expériences sur la déviation de la chute des corps faites au Panthéon », Bulletin de la société astronomique de France, vol. 17, n^o 7,‎ juillet 1903, p. 329-335 (lire en ligne).
Johann G. Hagen, « La rotation de la Terre, ses preuves mécaniques anciennes et nouvelles », Pubblicazioni della Specola astronomica Vaticana, 2^e série, vol. 1, n^o 1,‎ 1912 (OCLC 9521527, SUDOC 025187007).
(it) Giuseppe Gianfranceschi, « Misure di deviazione dei gravi », Atti della Reale Accademia dei Lincei, 5^e série, vol. 22, n^o 2,‎ 1913, p. 561-568 (lire en ligne).

Dictionnaires et encyclopédies

Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, hors coll., janvier 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), 1 vol., X-956, ill., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne), s.v.déviation vers l'est, p. 205, col. 1-2.

Manuels de cours

Alain Gibaud et Michel Henry, Mécanique du point (cours et exercices corrigés), Paris, Dunod, coll. « Sciences Sup / Physique », avril 2019, 2^e éd. (1^re éd. juin 1999), 1 vol., VII-328, ill., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-079853-7, EAN 9782100798537, OCLC 1101586621, SUDOC 11749836X, présentation en ligne, lire en ligne).
Jean-Yves Daniel et Patrick Peter, Cosmologie : la science de l'Univers (cours et exercices corrigés), Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, coll. « LMD / Sciences de la Terre et de l'Univers », octobre 2019, 1^re éd., 1 vol., IV-284-, ill., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-2124-3, EAN 9782807321243, OCLC 1127536715, SUDOC 240590430, présentation en ligne, lire en ligne).

Autres

André Deiber, Dominique Meier et Luc Dettwiller, « Déviation vers l'Est sans forces de Coriolis, mais avec une calculette », Bulletin de l'union des physiciens, vol. 96, n^o 842,‎ mars 2002, p. 523-542 (résumé, lire en ligne).
(en) Anthony P. French, « The deflection of falling objects », American Journal of Physics, vol. 52, n^o 3,‎ mars 1984, p. 199 (DOI 10.1119/1.13686, Bibcode 1984AmJPh..52..199F, lire en ligne).
Jacques Gapaillard, « Galilée et le principe du chasseur », Revue d'histoire des sciences, t. XLV, n^os 2-3 : « Études sur Galilée »,‎ 1992, p. 281-306 (DOI 10.3406/rhs.1992.4631, JSTOR 23632998, lire en ligne).
Theo Gerkema et Louis Gostiaux, « Petite histoire de la force de Coriolis », Reflets de la physique, n^o 17,‎ décembre 2009, p. 18-21 (DOI 10.1051/refdp/2009026, résumé, lire en ligne). — art. réimpr. dans La Métrologie, 8^e série, n^o 69, mai 2010, p. 25-29 (lire en ligne).
(en) Giulia Giannini, « Gianantonio Tadini and falling bodies : a new documentary source for the reconstruction of the history of experimental proofs on the Earth's rotation », History of Science, vol. 53, n^o 3,‎ septembre 2015, p. 320-337 (DOI 10.1177/0073275315580960, résumé).
Christian Larcher, « Une question historique : Où tombe une pierre lâchée du haut d'une tour ? Au pied de la tour ? Vers l'ouest ? Vers l'est ? », Les Cahiers Clairaut, n^o 130,‎ 2010, p. 31-33 (lire en ligne).
Jean Sivardière, « Les preuves expérimentales des mouvements de la Terre », Bulletin de l'union des physiciens, vol. 97, n^o 850,‎ janvier 2003, p. 25-39 (résumé, lire en ligne).
Richard Taillet, « Chute libre, histoire d'une déviation », Pour la Science, n^o 505,‎ novembre 2019, p. 74-79

Articles connexes

Liens externes

François Chamaraux et Maxime Clusel, « La mystérieuse « force de Coriolis » », Planète-Terre, ENS Lyon,‎ 1^er mai 2002, s.v.déviation vers l'est (lire en ligne).
Anders Persson (trad. de l'anglais par Alexandre Moatti), « La preuve de la rotation de la Terre par la mesure de la déviation d'objets tombant dans un puits de mine : une compétition mathématique franco-allemande entre Pierre-Simon de Laplace et Friedrich Gauß (1803) » , Bibnum, CERIMES,‎ 1^er mars 2015, p. 22 p. (résumé, lire en ligne).

Portail de la physique

[4] Du haut de la tour Asinelli à Bologne.

[6] Du haut de la tour de l'église Saint-Michel à Hambourg.

[13] Dans une tour à Harvard.

[16] Avec des billes d'acier lâchées du haut de la coupole du Panthéon à Paris.

[Gapaillard1992302-303concl.-1] Gapaillard 1992, concl., p. 302-303.

[Sivardière200329<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;1.2.2</span>-2] {a b et c} Sivardière 2003, § 1.2.2, p. 29.

[Larcher201031,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;2</span>-3] {a b et c} Larcher 2010, p. 31, col. 2.

[Giannini2015résumé-5] Giannini 2015, résumé.

[Laplace1803-7] Laplace 1803.

[Gauss1803-8] Gauss 1803.

[TailletVillainFebvre2018205,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;1</span>''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''déviation_vers_l'est-9] {a et b} Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v.déviation vers l'est, p. 205, col. 1.

[GerkemaGostiaux200918,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;3</span>,_et_<abbr_class="abbr_"_title="page"_>p.</abbr>&nbsp;19,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;1</span>-10] Gerkema et Gostiaux 2009, p. 18, col. 3, et p. 19, col. 1.

[Gilbert188217-11] Gilbert 1882, p. 17.

[Sivardière200329-30<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;1.2.2</span>-12] {a et b} Sivardière 2003, § 1.2.2, p. 29-30.

[Flammarion1903-14] Flammarion 1903.

[Larcher201032,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;1</span>-15] {a et b} Larcher 2010, p. 32, col. 1.

[Sivardière200330<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;1.2.2</span>-17] {a et b} Sivardière 2003, § 1.2.2, p. 30.

[French1984199,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;1-2</span>-18] French 1984, p. 199, col. 1-2.

[Hagen1912-19] Hagen 1912.

[French1984199,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;2</span>-20] French 1984, p. 199, col. 2.

[Gianfranceschi1913-21] Gianfranceschi 1913.

[GerkemaGostiaux200919,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;1</span>-22] Gerkema et Gostiaux 2009, p. 19, col. 1.

[ChamarauxClusel2002''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''_déviation_vers_l'est-23] Chamaraux et Clusel 2002, s.v. déviation vers l'est.

[24] Richard Taillet, « Déviation vers l’est lors d’une chute libre » (consulté le 25 mars 2020)