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Soit X1,...,Xn un échantillon de variables iid définies sur un espace de probabilité , à valeurs dans , avec pour fonction de répartitionF. La fonction de répartition empirique de l'échantillon est définie par :
Pour chaque ω, l'application est une fonction en escalier, fonction de répartition de la loi de probabilité uniforme sur l'ensemble .
Pour chaque x, la variable aléatoire est une variable aléatoire de Bernoulli, de paramètre p=F(x). Par conséquent, la variable aléatoire , qu'on notera , est distribuée selon une loi binomiale, avec pour moyennenF(x) et pour variancenF(x)(1 − F(x)). En particulier, Fn(x) est un estimateurnon-biaisé de F(x).
, en tant que processus indexé par x, converge faiblement dans vers un pont brownienB(F(x)).
Bibliographie
(en) Galen R. Shorack et Jon A. Wellner, Empirical Processes With Applications to Statistics, Society for Industrial & Applied Mathematics, , 998 p. (ISBN978-0-89871-684-9 et 0-89871-684-5, lire en ligne)
van der Vaart, A.W. and Wellner, J.A. (1996) "Weak Convergence and Empirical Processes", Springer. (ISBN0-387-94640-3).