Le problème Négation logique a retenu l’attention de nombreuses personnes aujourd’hui. Grâce à sa pertinence pour de multiples aspects de la vie moderne, Négation logique s'est avéré être un sujet d'un grand intérêt pour un large éventail de personnes. Qu’il s’agisse de son impact sur la société, de son influence sur la culture populaire ou de son rôle en politique et en économie, Négation logique s’est avéré être un sujet digne d’analyse et de réflexion. Dans cet article, nous explorerons les différentes facettes de Négation logique, dans le but de fournir une vision plus complète et approfondie de son importance dans le monde d'aujourd'hui.
En logique et en mathématiques, la négation est un opérateur logique unaire. Il sert à nier une proposition.
On note la négation d'une proposition P de diverses manières dont :
Ces formulations se lisent « négation de P » ou plus simplement « non P ».
Dans l'interprétation par des tables de vérité, la proposition ¬P est vraie quand P est fausse et elle est fausse quand P est vraie. La table de vérité s'écrit simplement :
P | ¬P |
---|---|
F | V |
V | F |
ou
P | ¬P |
---|---|
0 | 1 |
1 | 0 |
On remarque alors que où dénote une contradiction. Cette équivalence est aussi valable en logique intuitionniste et permet ainsi de prouver la négation d'une proposition. Il s'agit même plus précisément d'une définition de la négation. On peut aussi la définir autrement en la définissant par une règle d'inférence, que l'on nomme règle d'introduction de la négation.
Dans le système de la logique classique, la double négation d'une proposition p, qui est la négation de la négation de p, est logiquement équivalente à p. Exprimé en termes symboliques, ¬¬p ⇔ p. En logique intuitionniste, une proposition implique sa double négation, mais pas l'inverse. Cela marque une différence importante entre la négation classique et la négation intuitionniste. La négation classique est une involution.
Cependant, on montre en logique intuitionniste, que ¬¬¬p est équivalent à ¬p. En outre, dans le cas propositionnel, une phrase est classiquement prouvable si sa double négation est intuitionnistiquement prouvable. Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Glivenko.
Les lois de De Morgan distribuent la négation sur la disjonction et la conjonction :
En algèbre booléenne, une fonction f est linéaire s'il existe a0, a1, ..., an ∈ {0, 1} tels que f(b1, ..., bn) = a0 ⊕ (a1 b1) ⊕ ... ⊕ (an bn), pour tout b1, ..., bn ∈ {0, 1}.
La négation est un opérateur linéaire de l'algèbre booléenne.
Voici quelques règles d'utilisation des négations en logique classique :
Où est le symbole de l'équivalence logique.