Prédicat (logique mathématique)

En logique mathématique, un prédicat d'un langage est une propriété des objets du domaine considéré (l'univers du discours) exprimée dans le langage en question. Plus généralement cette propriété peut porter non seulement sur des objets (on peut préciser prédicat d'arité 1, à une place, monadique ou bien encore unaire^,), mais aussi sur des couples d'objets (on parle alors de prédicat binaire, ou d'arité 2, ou à deux places, ou encore de relation binaire), des triplets d'objets (prédicat ou relation ternaire ou d'arité 3 etc.), etc. Un prédicat d'arité n s'interprète, en logique classique, par une fonction à n argument sur l'univers du discours, et à valeurs dans les valeurs de vérité, faux et vrai (0 et 1).

Un langage du calcul des prédicats peut comporter des symboles primitifs pour représenter certains prédicats. Par exemple le prédicat binaire appelé « égalité » est noté « = » et est interprété sur le domaine considéré (nombres entiers, etc.), par l'égalité du domaine considéré (nombres entiers, etc.), ce qui signifie que si l'on écrit ${\displaystyle x=y}$ on veut dire que ${\displaystyle x}$ est même objet que ${\displaystyle y}$. Sur les nombres entiers naturels et dans de nombreux autres domaines le prédicat binaire « ≤ » représente un ordre, dont des axiomes précisent les propriétés. Sur l'univers d'une théorie des ensembles comme la théorie ZFC, la relation d'appartenance est notée « ∈ », c'est une notion primitive, qui intervient dans les axiomes de la théorie ; elle n'est pas introduite par une définition.

Le langage du calcul des prédicats permet de définir de nouveaux prédicats. Par exemple, sur les entiers naturels, le prédicat unaire « être inférieur ou égal à 4 » peut être défini par la formule « x ≤ 4 ».

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes

• Prédicat (linguistique)
• Terme (logique)

Bibliographie

René Cori et Daniel Lascar, Logique mathématique I. Calcul propositionnel, algèbres de Boole, calcul des prédicats [détail des éditions], chap. 3

v · m Logique
Domaines académiques	Théorie des ensembles Théorie de la démonstration Théorie des modèles Logique philosophique Logique mathématique Logique informelle Histoire de la logique Philosophie de la logique
Concepts fondamentaux	Abduction Conclusion Déduction Définition Démonstration Description Implication Inférence Induction Sens Paradoxe Prédicat Prémisse Proposition Mondes possibles Présupposition Référence Sémantique Syntaxe Syllogisme Vérité Valeur de vérité Validité Plus
Esprit critique et logique informelle	Affirmation Analyse Ambiguïté Crédibilité Évidence Explication Sophisme Parcimonie Propagande Rhétorique
Logique mathématique	Algèbre de Boole Calcul des prédicats Calcul des propositions Théorie de la calculabilité Déduction naturelle Logique traditionnelle Logique classique Logique linéaire Lois de De Morgan Théorie de la démonstration Théorie des ensembles Théorie des modèles
Logiques non classiques	Logique de description Logique intuitionniste Logique minimale Logique floue Logique modale Logique non monotone Logique paracohérente Logiques sous-structurelles Logique de Łukasiewicz
Métalogique et métamathématique	Théorème de Cantor Thèse de Church Fondements des mathématiques Théorème de complétude de Gödel Théorème d'incomplétude de Gödel Complétude Décidabilité Théorème de Löwenheim-Skolem
Philosophie de la logique	Atomisme logique Constructivisme Logicisme Intuitionnisme Dialethéisme
Logiciens	Aristote Avicenne Averroès Bain Barwise Bernays Boole Cantor Carnap Church Chrysippe de Soles Curry De Morgan Frege Gentzen Gödel Hilbert Kleene Kripke Leibniz Löwenheim Guillaume d'Ockham Peano Peirce Popper Putnam Quine Russell Schröder Scot Skolem Smullyan Tarski Turing Whitehead Wittgenstein Zermelo

• Portail des mathématiques
• Portail de la logique