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En mathématiques, le théorème de Borel,,,,, ou lemme de Borel, est un résultat d'analyse, sur l'existence de fonctions de série de Taylor arbitraire.
Il a été démontré en 1884 par Giuseppe Peano, et en 1895 par Émile Borel. Auparavant, en 1876, Paul du Bois-Reymond avait donné un premier exemple d'une série de Taylor divergente en tout point non nul. Le théorème de Borel généralise ce résultat.
Pour toute suite de nombres complexes, il existe une fonction de classe , d'une variable réelle et à valeurs complexes, définie au voisinage de 0, telle que
Une conséquence de ce théorème est qu'il existe des fonctions différentes de leur série de Taylor sur tout voisinage de 0 : il suffit par exemple de prendre la fonction associée à la suite .
Soit un ouvert de et une suite de fonctions de classe à valeurs complexes sur . Alors il existe une fonction de classe à valeurs complexes sur , solution de l'équation aux dérivées partielles :
Il existe une preuve constructiviste de ce résultat.