Función gamma no eixe real.
Valor absoluto da función gamma no plano complexo.
En matemáticas , a función gamma (denotada como
Γ
(
z
)
{\displaystyle \scriptstyle \Gamma (z)\,\!}
, onde
Γ
{\displaystyle \scriptstyle \Gamma }
é a escritura en maiúscula da letra gamma do alfabeto grego ) é unha aplicación que estende o concepto de factorial aos números complexos . A notación foi proposta por Adrien-Marie Legendre . Se a parte real do número complexo z é positiva , entón a integral
Γ
(
z
)
=
∫
0
∞
t
z
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt}
converxe absolutamente; esta integral pode ser estendida a todo o plano complexo, agás aos enteiros negativos e ao cero. Se n é un enteiro positivo, entón
Γ
(
n
)
=
(
n
−
1
)
!
{\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!\,}
o que amosa a relación desta función co factorial. De feito, a función gamma estende o concepto de factorial a calquera valor complexo de z . A función gamma aparece en varias funcións de distribución de probabilidade, polo que é bastante empregada tanto en probabilidade e estatística como en combinatoria .
Definición clásica
A función gamma no plano complexo.
Se a parte real do número complexo z é positiva (Re(z ) > 0), entón a integral
Γ
(
z
)
=
∫
0
∞
t
z
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\,\!}
converxe absolutamente . Empregando a integración por partes , obtense a seguinte propiedade:
Γ
(
z
+
1
)
=
z
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z)}
Esta ecuación funcional xeneraliza a relación
n
!
=
n
(
n
−
1
)
!
{\displaystyle n!=n(n-1)!}
do factorial. Pódese avaliar
Γ
(
1
)
{\displaystyle \Gamma (1)}
analiticamente:
Γ
(
1
)
=
∫
0
∞
e
−
t
d
t
=
lim
k
→
∞
−
e
−
t
|
0
k
=
−
0
−
(
−
1
)
=
1.
{\displaystyle \Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}dt=\lim _{k\rightarrow \infty }\left.-e^{-t}\right|_{0}^{k}=-0-(-1)=1.}
Combinando estes dous resultados dedúcese que o factorial é un caso particular da función gamma:
Γ
(
n
+
1
)
=
n
Γ
(
n
)
=
⋯
=
n
!
Γ
(
1
)
=
n
!
{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\,\Gamma (n)=\cdots =n!\,\Gamma (1)=n!\,}
para os enteiros non negativos n .
A función gamma é unha función meromorfa de
z
∈
C
{\displaystyle z\in \mathbb {C} }
con polos simples en
z
=
−
n
(
n
=
0
,
1
,
2
,
3
,
…
)
{\displaystyle z=-n\,\,(n=0,\,1,\,2,\,3,\,\dots )}
e residuos
Res
(
Γ
(
z
)
,
−
n
)
=
(
−
1
)
n
n
!
{\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma (z),-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}}
. Estas propiedades poden ser empregadas para estender
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
dende a súa definición inicial a todo o plano complexo (exceptuando os puntos nos que é singular) por continuación analítica .
Definicións alternativas
As seguintes definicións da función gamma mediante produtos infinitos , debidas a Euler e Weierstrass respectivamente, son vixentes en todo o plano complexo z , agás para valores enteiros negativos:
Γ
(
z
)
=
lim
n
→
∞
n
!
n
z
z
(
z
+
1
)
⋯
(
z
+
n
)
=
1
z
∏
n
=
1
∞
(
1
+
1
n
)
z
1
+
z
n
{\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{z}}{z\,(z+1)\cdots (z+n)}}={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}{1+{\frac {z}{n}}}}}
Γ
(
z
)
=
e
−
γ
z
z
∏
n
=
1
∞
(
1
+
z
n
)
−
1
e
z
/
n
{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}}
onde
γ
{\displaystyle \gamma }
é a constante de Euler-Mascheroni .
É sinxelo comprobar que a definición de Euler satisfai a ecuación funcional, dada arriba, como segue: sexa
z
≠
0
,
−
1
,
−
2
,
−
3
,
…
{\displaystyle z\neq 0,\,-1,\,-2,\,-3,\,\dots }
Γ
(
z
+
1
)
=
lim
n
→
∞
n
!
n
z
+
1
(
z
+
1
)
(
z
+
2
)
⋯
(
z
+
1
+
n
)
=
lim
n
→
∞
(
z
n
!
n
z
z
(
z
+
1
)
(
z
+
2
)
⋯
(
z
+
n
)
n
(
z
+
1
+
n
)
)
=
z
Γ
(
z
)
lim
n
→
∞
n
(
z
+
1
+
n
)
=
z
Γ
(
z
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{z+1}}{(z+1)\;(z+2)\cdots (z+1+n)}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left(z\;{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\;(z+2)\cdots (z+n)}}\;{\frac {n}{(z+1+n)}}\right)\\&=z\;\Gamma (z)\;\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{(z+1+n)}}\\&=z\;\Gamma (z).\\\end{aligned}}}
Tamén se pode a seguinte representación integral:
Γ
(
z
+
1
)
=
∫
0
∞
e
−
t
1
/
z
d
t
.
{\displaystyle \Gamma (z+1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t^{1/z}}\,dt.\,\!}
Obtención da ecuación funcional empregando integración por partes
Atopar
Γ
(
1
)
{\displaystyle \Gamma (1)}
é sinxelo:
Γ
(
1
)
=
∫
0
∞
e
−
x
x
1
−
1
d
x
=
∫
0
∞
e
−
x
d
x
=
−
e
−
∞
−
(
−
e
0
)
=
0
−
(
−
1
)
=
1
{\displaystyle \Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{1-1}dx=\int _{0}^{\infty }e^{-x}dx=-e^{-\infty }-(-e^{0})=0-(-1)=1}
Obtense logo unha fórmula para
Γ
(
n
+
1
)
{\displaystyle \Gamma (n+1)}
como unha función de
Γ
(
n
)
{\displaystyle \Gamma (n)}
:
Γ
(
n
+
1
)
=
∫
0
∞
e
−
x
x
n
+
1
−
1
d
x
=
∫
0
∞
e
−
x
x
n
d
x
{\displaystyle \Gamma (n+1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n+1-1}dx=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n}dx}
Empregando integración por partes para resolver a integral
∫
0
∞
e
−
x
x
n
d
x
=
[
−
x
n
e
x
]
0
∞
+
n
∫
0
∞
e
−
x
x
n
−
1
d
x
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n}dx=\left_{0}^{\infty }+n\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n-1}dx}
No límite inferior obtense directamente
−
0
n
e
0
=
0
1
=
0
{\displaystyle {\frac {-0^{n}}{e^{0}}}={\frac {0}{1}}=0}
.
No infinito, empregando a regra de L'Hôpital :
lim
x
→
∞
−
x
n
e
x
=
lim
x
→
∞
−
n
!
⋅
1
e
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-x^{n}}{e^{x}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-n!\cdot 1}{e^{x}}}=0}
.
Polo que se anula o primeiro termo,
[
−
x
n
e
x
]
0
∞
{\displaystyle \left_{0}^{\infty }}
, o que nos dá o seguinte resultado:
Γ
(
n
+
1
)
=
n
∫
0
∞
e
−
x
x
n
−
1
d
x
{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n-1}dx}
A parte dereita da ecuación é exactamente
n
Γ
(
n
)
{\displaystyle n\Gamma (n)}
, co que se obtén unha relación de recorrencia :
Γ
(
n
+
1
)
=
n
Γ
(
n
)
{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)}
.
Aplicando a fórmula a uns poucos valores:
Γ
(
2
)
=
Γ
(
1
+
1
)
=
1
Γ
(
1
)
=
1
!
=
1
{\displaystyle \Gamma (2)=\Gamma (1+1)=1\Gamma (1)=1!=1\,}
Γ
(
3
)
=
Γ
(
2
+
1
)
=
2
Γ
(
2
)
=
2
⋅
1
!
=
2
!
=
2
{\displaystyle \Gamma (3)=\Gamma (2+1)=2\Gamma (2)=2\cdot 1!=2!=2\,}
Γ
(
4
)
=
Γ
(
3
+
1
)
=
3
Γ
(
3
)
=
3
⋅
2
!
=
3
!
=
6
{\displaystyle \Gamma (4)=\Gamma (3+1)=3\Gamma (3)=3\cdot 2!=3!=6\,}
Γ
(
n
+
1
)
=
n
Γ
(
n
)
=
n
⋅
(
n
−
1
)
!
=
n
!
{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)=n\cdot (n-1)!=n!}
Propiedades
Da representación integral obtense:
lim
z
→
0
+
Γ
(
z
)
=
lim
z
→
0
+
Γ
(
z
+
1
)
z
=
∞
{\displaystyle \lim _{z\to 0^{+}}\Gamma (z)=\lim _{z\to 0^{+}}{\frac {\Gamma (z+1)}{z}}=\infty }
.
Outras ecuacións funcionais importantes da función gamma son a fórmula de reflexión de Euler
Γ
(
1
−
z
)
Γ
(
z
)
=
π
sin
(
π
z
)
{\displaystyle \Gamma (1-z)\;\Gamma (z)={\pi \over \sin {(\pi z)}}\,\!}
e a fórmula de duplicación
Γ
(
z
)
Γ
(
z
+
1
2
)
=
2
1
−
2
z
π
Γ
(
2
z
)
.
{\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).\,\!}
A fórmula de duplicación é un caso especial do teorema de multiplicación
Γ
(
z
)
Γ
(
z
+
1
m
)
Γ
(
z
+
2
m
)
⋯
Γ
(
z
+
m
−
1
m
)
=
(
2
π
)
(
m
−
1
)
/
2
m
1
/
2
−
m
z
Γ
(
m
z
)
.
{\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{(m-1)/2}\;m^{1/2-mz}\;\Gamma (mz).\,\!}
Unha propiedade básica e moi útil da función gamma , que se pode obter a partir da definición mediante produtos infinitos de Euler é:
Γ
(
z
)
¯
=
Γ
(
z
¯
)
{\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})\,\!}
Varios límites útiles para aproximacións asintóticas:
lim
n
→
∞
Γ
(
n
+
α
)
Γ
(
n
)
n
α
=
1
,
lim
n
→
∞
Γ
(
n
−
α
)
Γ
(
n
+
α
)
Γ
(
n
−
β
)
Γ
(
n
+
β
)
=
1
;
α
,
β
∈
R
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n)n^{\alpha }}}=1,\quad \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n-\alpha )\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n-\beta )\Gamma (n+\beta )}}=1;\qquad \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }
O valor máis coñecido da función gamma con argumento non enteiro é:
Γ
(
1
2
)
=
π
,
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},\,\!}
que se pode obter facendo
z
=
1
/
2
{\displaystyle z=1/2}
na fórmula de reflexión ou na fórmula de duplicación, empregando a relación da función gamma coa función beta dada máis abaixo con
x
=
e
=
1
/
2
{\displaystyle x=e=1/2}
ou facendo a substitución
u
=
t
{\displaystyle u={\sqrt {t}}}
na definición integral da función gamma, co que se obtén unha integral Gaussiana . En xeral, para valores impares de n tense:
Γ
(
n
2
+
1
)
=
π
n
!
!
2
(
n
+
1
)
/
2
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)={\sqrt {\pi }}\,{\frac {n!!}{2^{(n+1)/2}}}}
(n impar)
onde n !! denota o dobre factorial . As derivadas da función gamma veñen dadas pola función poligamma . Por exemplo:
Γ
′
(
z
)
=
Γ
(
z
)
ψ
0
(
z
)
.
{\displaystyle \Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi _{0}(z).\,\!}
A partir da representación integral da función gamma, obtense que a súa derivada n -ésima é:
d
n
(
d
x
)
n
Γ
(
x
)
=
∫
0
∞
t
x
−
1
e
−
t
ln
n
t
d
t
.
{\displaystyle {d^{n} \over (dx)^{n}}\,\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln ^{n}t\,dt.}
A función gamma ten un polo de orde 1 en
z
=
−
n
{\displaystyle z=-n}
para todo número enteiro non negativo . O residuo en cada polo é:
Res
(
Γ
,
−
n
)
=
(
−
1
)
n
n
!
.
{\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.\,\!}
O teorema de Bohr-Mollerup di que, entre todas as funcións que xeneralizan o factorial dos números naturais aos reais, só a función gamma é logaritmo convexa (o log-convexa), é dicir, o logaritmo natural da función gamma é unha función convexa .
O desenvolvemento en Serie de Laurent de
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
para valores 0 < z < 1 é:
Γ
(
z
)
≈
1
z
−
γ
+
[
γ
2
2
!
+
ζ
(
2
)
2
]
z
+
[
γ
3
3
!
+
ζ
(
2
)
2
γ
+
ζ
(
3
)
3
]
z
2
+
…
{\displaystyle \Gamma (z)\approx {\frac {1}{z}}-\gamma +\leftz+\leftz^{2}+\dots }
Onde
ζ
(
n
)
{\displaystyle \zeta (n)}
é a función zeta de Riemann .
Función pi
Gauss introduciu unha notación alternativa da función gamma denominada función pi , que en termos da función gamma é:
Π
(
z
)
=
Γ
(
z
+
1
)
=
z
Γ
(
z
)
,
{\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z),\,\!}
Así, a relación desta función pi co factorial é bastante máis natural que no caso da función gamma:
Π
(
n
)
=
n
!
.
{\displaystyle \Pi (n)=n!.\!}
A fórmula da reflexión toma a seguinte forma:
Π
(
z
)
Π
(
−
z
)
=
π
z
sin
(
π
z
)
=
1
sinc
(
z
)
{\displaystyle \Pi (z)\;\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}\,\!}
Onde sinc é a función sinc normalizada, o teorema da multiplicación escríbese así:
Π
(
z
m
)
Π
(
z
−
1
m
)
⋯
Π
(
z
−
m
+
1
m
)
=
(
(
2
π
)
m
2
π
m
)
1
/
2
m
−
z
Π
(
z
)
.
{\displaystyle \Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=\left({\frac {(2\pi )^{m}}{2\pi m}}\right)^{1/2}\,m^{-z}\,\Pi (z).\,\!}
Ás veces atópase a seguinte definición
π
(
z
)
=
1
Π
(
z
)
,
{\displaystyle \pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}},\,\!}
onde
π
(
z
)
{\displaystyle \pi (z)}
é unha función enteira , definida para todo número complexo, pois non ten polos. A razón diso é que a función gamma e, polo tanto, a función pi, non teñen ceros .
Relación con outras funcións
Na representación integral da función gamma, tanto o límite superior como o inferior da integración están fixados. A función gamma incompleta superior
γ
(
a
,
x
)
{\displaystyle \gamma (a,x)}
e inferior
Γ
(
a
,
x
)
{\displaystyle \Gamma (a,x)}
obtéñense modificando os límites de integración superior ou inferior respectivamente.
Γ
(
a
,
x
)
=
∫
x
∞
t
a
−
1
e
−
t
d
t
.
{\displaystyle \Gamma (a,x)=\int _{x}^{\infty }t^{a-1}\,e^{-t}\,dt.\,\!}
γ
(
a
,
x
)
=
∫
0
x
t
a
−
1
e
−
t
d
t
.
{\displaystyle \gamma (a,x)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,e^{-t}\,dt.\,\!}
A función gamma está relacionada coa función beta pola seguinte fórmula
B
(
x
,
y
)
=
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
Γ
(
x
+
y
)
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\;\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.\,\!}
ψ
(
x
)
=
ψ
0
(
x
)
=
Γ
′
(
x
)
Γ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)=\psi ^{0}(x)={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}}
ψ
(
n
)
(
x
)
=
(
d
d
x
)
n
ψ
(
x
)
=
(
d
d
x
)
n
+
1
log
Γ
(
x
)
{\displaystyle \psi ^{(n)}(x)=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}\psi (x)=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n+1}\log \Gamma (x)}
ζ
(
z
)
=
1
Γ
(
z
)
∫
0
∞
u
z
−
1
e
u
−
1
d
u
.
{\displaystyle \zeta (z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{z-1}}{e^{u}-1}}\;\mathrm {d} u\,\!.}
Fórmula válida só se
Re
(
z
)
>
1
{\displaystyle \operatorname {Re} (z)>1}
. Tamén aparece na ecuación funcional de
ζ
(
z
)
{\displaystyle \zeta (z)}
:
π
−
z
/
2
Γ
(
z
2
)
ζ
(
z
)
=
π
−
1
−
z
2
Γ
(
1
−
z
2
)
ζ
(
1
−
z
)
.
{\displaystyle \pi ^{-z/2}\;\Gamma \left({\frac {z}{2}}\right)\zeta (z)=\pi ^{-{\frac {1-z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {1-z}{2}}\right)\;\zeta (1-z).}
Valores da función gamma
Γ
(
−
3
/
2
)
=
4
π
3
≈
2
,
363
Γ
(
−
1
/
2
)
=
−
2
π
≈
−
3
,
545
Γ
(
1
/
2
)
=
π
≈
1
,
772
Γ
(
1
)
=
0
!
=
1
Γ
(
3
/
2
)
=
π
2
≈
0
,
886
Γ
(
2
)
=
1
!
=
1
Γ
(
5
/
2
)
=
3
π
4
≈
1
,
329
Γ
(
3
)
=
2
!
=
2
Γ
(
7
/
2
)
=
15
π
8
≈
3
,
323
Γ
(
4
)
=
3
!
=
6
{\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx 2,363\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3,545\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1,772\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx 0,886\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx 1,329\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx 3,323\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}}
Aproximacións
A función gamma pode calcularse numericamente con precisión arbitraria empregando a fórmula de Stirling , a aproximación de Lanczos ou a aproximación de Spouge .
Para argumentos que sexan múltiplos enteiros de 1/24, a función gamma pode ser avaliada rapidamente empregando iteracións de medias aritmético-xeométricas .
Debido a que tanto a función gamma como o factorial crecen moi rapidamente para argumentos moderadamente grandes, moitos programas de computación inclúen funcións que devolven o logaritmo da función gamma. Este crece máis lentamente, e en cálculos combinatorios é moi útil, pois pásase de multiplicar e dividir grandes valores a sumar ou restar os seus logaritmos.
Aplicacións da función gamma
Cálculo fraccionario
A n-ésima derivada de
a
x
b
{\displaystyle ax^{b}}
(onde n é un número natural) pode verse do seguinte xeito:
d
n
d
x
n
(
a
x
b
)
=
(
b
−
n
+
1
)
⋯
(
b
−
2
)
(
b
−
1
)
b
a
x
b
−
n
=
b
!
(
b
−
n
)
!
a
x
b
−
n
{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(ax^{b}\right)=\left(b-n+1\right)\cdots \left(b-2\right)\left(b-1\right)bax^{b-n}={\frac {b!}{\left(b-n\right)!}}ax^{b-n}}
como
n
!
=
Γ
(
n
+
1
)
{\displaystyle n!=\Gamma (n+1)}
entón
d
n
d
x
n
(
a
x
b
)
=
Γ
(
b
+
1
)
Γ
(
b
−
n
+
1
)
a
x
b
−
n
{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(ax^{b}\right)={\frac {\Gamma \left(b+1\right)}{\Gamma \left(b-n+1\right)}}ax^{b-n}}
onde n pode ser calquera número no que gamma estea definido ou se poida definir mediante límites.
Deste xeito pode calcularse por exemplo, a 1/2 derivada de
x
{\displaystyle x}
, de
x
2
{\displaystyle x^{2}}
e inclusive dunha constante
c
=
c
x
0
{\displaystyle c=cx^{0}}
:
d
1
2
d
x
1
2
(
x
)
=
2
x
π
{\displaystyle {\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\left(x\right)={\frac {2{\sqrt {x}}}{\sqrt {\pi }}}}
d
1
2
d
x
1
2
(
x
2
)
=
8
x
3
3
π
{\displaystyle {\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\left(x^{2}\right)={\frac {8{\sqrt {x^{3}}}}{3{\sqrt {\pi }}}}}
d
1
2
d
x
1
2
(
c
)
=
c
π
x
{\displaystyle {\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\left(c\right)={\frac {c}{{\sqrt {\pi }}{\sqrt {x}}}}}
Notas
↑ George Allen, and Unwin, Ltd., The Universal Encyclopedia of Mathematics . United States of America, New American Library, Simon and Schuster, Inc., 1964. (Forward by James R. Newman )
Véxase tamén
Bibliografía
Artin, Emil (2006). Rosen, Michael, ed. "Exposition by Emil Artin: a selection". History of Mathematics (Providence, Rhode Island: American Mathematical Society) (30).
Davis, Philip J. (1959). "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the gamma Function". Am. Math. Monthly (66): 849–869.
Haible, Bruno; Papanikolaou, Thomas (1997). "Fast multiprecision avaliation of series of rational numbers" . Technical Report (Darmstadt University of Technology) (TI-7/97). Arquivado dende o orixinal o 30 de xuño de 2006. Consultado o 17 de agosto de 2016 .
Havil, Julian (2003). gamma, Exploring Euler's Constant . ISBN 0-691-09983-9 .
Sebah, Pascal; Gourdon, Xavier. "Introduction to the gamma Function" .
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables . Nova York: Dover.
Arfken, G.; Weber, H. (2000). "10". Mathematical Methods for Physicists . Harcourt/Academic Press.
Hochstadt, Harry (1986). "3". The Functions of Mathematical Physics . Nueva York: Dover.
Press, W.H.; Flannery, B.P.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T. (1988). "Section 6.1". Numerical Recipes in C . Cambridge: Cambridge University Press.
Murray R. Spiegel: Transformadas de Laplace , Edicións Schaumm.
Makárenko, Krasnov e Kiselev: Funcións de variable compleja, Cálculo operacional, Teoría de la estabilidad , editorial Mir .
Outros artigos
Ligazóns externas