Nel seguente articolo verrà analizzato l'impatto di Gruppo ordinato sulla società contemporanea. Fin dalla sua nascita, Gruppo ordinato ha esercitato un’influenza significativa su vari aspetti della vita quotidiana, dalla cultura all’economia. Nel corso della storia, Gruppo ordinato è stato oggetto di intensi dibattiti e discussioni, risvegliando passioni e generando movimenti sociali. In questo senso, è fondamentale esaminare da vicino le cause e le conseguenze della presenza di Gruppo ordinato nelle nostre vite, nonché il suo potenziale di plasmare il futuro. Con un approccio multidisciplinare, questo articolo cerca di offrire una visione completa di come Gruppo ordinato ha trasformato e continua a trasformare il mondo in cui viviamo.
In algebra, un gruppo ordinato è un gruppo dotato di una relazione d'ordine parziale che preserva l'operazione di gruppo: se è una relazione d'ordine ordine su , allora per ogni in deve valere che
Si dice anche che è invariante per traslazioni (la motivazione del nome è più evidente per gruppi additivi).
Grazie alle proprietà di un gruppo possiamo enunciare la caratterizzazione:
dove è l'elemento neutro del gruppo. L'insieme degli elementi maggiori o uguali di si denota con e si dice il cono positivo di . L'insieme definisce completamente l'ordine: infatti un gruppo è un gruppo ordinato se e solo se esiste un suo sottoinsieme (che sarà proprio ) tale che:
Un omomorfismo tra gruppi ordinati (o O-omomorfismo) è definito come un omomorfismo di gruppi che sia anche una funzione monotona.