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Sia una k-superficie positivamente orientata in e una funzione continua definita sull'immagine di e a valori in . Allora:
Sia il dominio di parametrizzazione di e iniettiva e differenziabile con matrice jacobiana positiva. Allora:
Se l'integrale fornisce il volume della superficie.
Integrale di funzioni su 2-superfici in
Sia una 2-superficie in con dominio di parametrizzazione . Un tale oggetto è analiticamente rappresentato da tre funzioni, e di due variabili indipendenti e :
Sia:
una funzione definita su .
Ad ogni punto del dominio di parametrizzazione è possibile associare il vettore:
Si definisce integrale di superficie di sulla superficie la scrittura:
In modo equivalente si scrive anche, notando che il prodotto interno è proprio il vettore normale:
dove:
è l'elemento di superficie normale a .
E .
Se l'integrale fornisce l'area della superficie:
Integrale di 2-forme su 2-superfici in
Sia una 2-superficie in con dominio di parametrizzazione . Un tale oggetto è analiticamente rappresentato da tre funzioni, e di due variabili indipendenti e :
Sia:
una 2-forma definita su .
Si definisce integrale di su
Interpretando la 2-forma come un campo vettoriale definito su si ha:
dove è il versore normale alla superficie .
Esempio
Sia una superficie (chiusa o aperta) analiticamente rappresentata da tre funzioni, e di due variabili indipendenti e :
e sia funzione continua dei punti di detta superficie. Decomposta in modo arbitrario in elementi , si fissi su ciascuno di questi un punto , e si formi il prodotto del valore di per ogni . La somma di tali prodotti è indicata con . Facendo aumentare indefinitamente il numero degli elementi della decomposizione e facendo diminuire ciascuna delle aree , se esiste il limite di tale somma e se è finito allora esso è l'integrale di superficie della funzione sulla superficie . Viene indicato con oppure con .
La sua effettiva valutazione si ottiene mediante un integrale doppio esteso all'area piana proiezione della superficie sul piano x-y.
Con lo spianamento della superficie l'integrale in si trasforma nel seguente integrale doppio:
ove e , che consente la valutazione dell'integrale di superficie.