Teorema di Perron-Frobenius

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Il teorema di Perron-Frobenius afferma che, se ${\displaystyle A}$ è una matrice non negativa (cioè, con tutti gli elementi maggiori o uguali a zero) primitiva e irriducibile allora

1. L'autovalore di modulo massimo ${\displaystyle \lambda }$ di ${\displaystyle A}$ è reale positivo
2. Esso è un autovalore semplice
3. L'autovettore corrispondente ha tutte le componenti positive
4. L'autovettore corrispondente è l'unico autovettore non negativo di ${\displaystyle A}$
5. L'autovalore di modulo massimo, visto come funzione ${\displaystyle \rho (A)}$ della matrice ${\displaystyle A}$, è una funzione strettamente crescente in ognuno dei suoi elementi: cioè, se ${\displaystyle B\geq A}$ (s'intende che tale disuguaglianza valga elemento per elemento) e ${\displaystyle B\neq A}$, allora ${\displaystyle \rho (B)>\rho (A)}$

Il teorema di Perron-Frobenius è un risultato abbastanza potente ma elementare di algebra lineare che solitamente non si vede nei primi corsi. Una sua applicazione è per esempio quella di assicurare l'esistenza di misure invarianti per catene di Markov finite.

Storia

Il teorema fu enunciato da Perron nei primi del Novecento e da lui dimostrato nel caso particolare in cui ${\displaystyle A}$ ha tutti gli elementi positivi; fu poi esteso da Frobenius al caso qui riportato e a casi più complessi di matrici che mandano un cono di ${\displaystyle \mathbb {C} }$ in sé. Helmut Wielandt trovò poi una dimostrazione particolarmente breve ed elegante del teorema.

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