Logaritmas

Matematikoje skaičiaus logaritmas (gr. logos – santykis + gr. arithmos – skaičius) – laipsnio rodiklis, kuriuo reikia pakelti kitą fiksuotą skaičių (pagrindą), kad būtų gautas tas skaičius. Logaritmas yra atvirkštinė pagrindo kėlimo laipsniu funkcija. Veiksmas, kuriuo randamas skaičiaus logaritmas vadinamas logaritmavimu, o priešingas veiksmas vadinamas potencijavimu arba antilogaritmavimu.

Pavyzdžiui, 1000 logaritmas pagrindu 10 yra 3, nes 10 pakėlus 3 laipsniu gaunamas 1000: 1000 = 10 × 10 × 10 = 10³. Bendru atveju, bet kuriems dviem realiems skaičiams b ir x, kur b yra teigiamas ir b ≠ 1,

${\displaystyle y=b^{x}\Leftrightarrow x=\log _{b}(y)}$

Logaritmas, kurio pagrindas skaičius 10, yra vadinamas dešimtainiu logaritmu ir yra taikomas inžinerijoje. Logaritmas pagrindu e (≈ 2,718) yra vadinamas natūriniu logaritmu ir yra plačiai naudojamas grynojoje matematikoje, ypač integraliniame ir diferencialiniame skaičiavime. Dvejetainis logaritmas naudoja pagrindą 2 (b = 2), naudojamas kompiuterių moksle.

Logaritmus atrado ir tyrė jų savybes škotų matematikas Džonas Neperis 1614 m., jis taip pat sukūrė „Nepero lazdeles“, kurios palengvino logaritmų skaičiavimą. Šiuolaikinį logaritmų žymėjimą įvedė XVIII a. Leonardas Euleris.

Praktiniams logaritmų skaičiavimams ilgą laiką buvo plačiai naudojama logaritminė liniuotė, kurią ilgainiui pakeitė šiuolaikiniai skaičiuotuvai.

Veiksmai su logaritmais

Logaritmų sudėties pakeitimas sandauga

${\displaystyle log_{b}(x)+log_{b}(y)}$ yra lygus ${\displaystyle log_{b}(xy)}$

Pavyzdžiui: ${\displaystyle log_{2}(4)+log_{2}(8)=log_{2}(4*8)=log_{2}(32)=5}$

Įrodymas: ${\displaystyle log_{2}(4)=2}$,o ${\displaystyle log_{2}(8)=3}$, taigi 2+3=5.;

Logaritmų atimties pakeitimas dalyba

Logaritmų atimtis yra priešingas veiksmas sudėčiai, todėl pologaritminius reiškinius (pažymėta raide 'X') reikės dalinti.

Pavyzdžiui: ${\displaystyle log_{2}(8)-log_{2}(4)}$. Šis reiškinys bus lygus ${\displaystyle log_{2}(8/4)}$, taigi jis lygus ${\displaystyle log_{2}(2)=1}$.

Įrodymas: 3-2=1.

Pastaba: logaritmo pagrindas (pažymėta raide b) turi būti didesnis už nulį ir nelygus 1, o pologaritminis reiškinys (X) didesnis už 0.

Logaritmų savybės

${\displaystyle a^{\log _{a}b}=b}$
${\displaystyle \log _{10}a=\lg a}$
${\displaystyle \log _{e}a=\ln a}$
${\displaystyle \ln 1=0}$
${\displaystyle \log _{a}1=0}$
${\displaystyle \log _{a}a=1}$
${\displaystyle \log _{a}(x\cdot y)=\log _{a}x+\log _{a}y}$
${\displaystyle \log _{a}{\Big (}{\frac {x}{y}}{\Big )}=\log _{a}x-\log _{a}y}$
${\displaystyle \log _{a}(x^{k})=k\cdot \log _{a}x}$
${\displaystyle \log _{a}x={\frac {\log _{c}x}{\log _{c}a}}}$ – pagrindų keitimo formulė.
${\displaystyle \log _{a^{n}}x^{n}=\log _{a}x}$
${\displaystyle \log _{a^{n}}x={\frac {1}{n}}\log _{a}x}$
${\displaystyle \log _{a^{n}}{x^{m}}={\frac {m}{n}}\log _{a}x}$

Pavyzdžiu patvirtinsime šitą formulę:

${\displaystyle \log _{a}x={\frac {\log _{c}x}{\log _{c}a}}.}$

${\displaystyle \log _{2}256=\log _{2}2^{8}=8;}$

${\displaystyle {\frac {\log _{4}256}{\log _{4}2}}={\frac {\log _{4}4^{4}}{\log _{4}4^{1 \over 2}}}={\frac {4}{1 \over 2}}=8;}$

čia a=2, x=256, c=4.

Šaltiniai