Теорија на броевите е гранка од математиката која се занимава со одликите на броевите, особено со целите, како и со пошироките класи на проблеми кои произлегуваат од оваа студија.
Изразот аритметика исто така се користи за теорија на броевите.[note 1] Ова е стар израз кој веќе не е популарен колку што некогаш бил. Теоријата на броеви некогаш ја нарекувалевисша аритметика, но ни овој израз веќе не е во употреба. Па сепак, изразот аритметика и понатаму се јавува во имињата на некои математички области (аритметички функции, аритметика на елиптичните криви, основна теорема на аритметика)та. Оваа смисла на изразот аритметика не треба да го мешаме ниту со елементарна аритметика, нити со гранката на логиката која ја проучува пеановата аритметиката како формален систем. Математичарите кои се занимаваат со теоријата на броевите се нарекуваат теоретичари на броеви.
Многу прашања од областа на теоријата на броевите можат да се искажат во термините на елементарна теорија на броевите, но многу од нив бараат многу длабоко разгледување и нови пристапи кои се надвор од доменот на елементарната теорија на броевите. Меѓу ваквите примери се:
Последна Фермаова теорема (изречена во 1637, но докажана дури во 1994) која тврди дека не е можно да се најдат цели броеви различни од нула x, y, z, такви да за некое целобројно n е поголемо од 2.
Аналитичка теорија на броевите ја користи техниката на анализа и комплексна анализа за решавање на проблеми поврзани со цели броеви. Пример се теорема за прости броеви и поврзаната Риманова хипотеза. Исто така, за Ворингов проблем (претставување на дадениот цел број како собирок на квадрати, кубови итн.), конјектура за прости близнаци (наоѓање на бесконечно многу парови на прости броеви чија разлика е 2) и Голдбаховата конјектура (запишување на парни броеви како собирок на два прости броја) се користат аналитичките методи.Доказ на трансцендентноста на математичките константи, како што се пи или e, исто така спаѓаат во аналитичка теорија на броевите. Иако може да изгледа дека исказите за трансцендентните броеви не спаѓаат во проучување на цели броеви, тие всушност претставуваат проучување на можни вредности на полиноми со целобројни коефициенти, пресметани да кажеме во e; тие се исто така во блиска врска со полето на диофантска апроксимација, каде се истражува колку добро дадениот реалан број може да се апроксимира во рационален.
Кон многу прашња од теоријата на броевите најлесно се приоѓа така што се проучуваат по модулот p за сите прости p. Оваа се нарекува локализација и доведува до конструкција на p-адни броеви; оваа област се нарекува локална анализа и потекнува од алгебарската теорија на броевите.
Комбинаторна теорија на броевите се занимава со проблемите на теорија на броеви кои ги вклучуваат комбинаторните идеи во своите формулации или решенија. Пал Ердеш е главниот основач на оваа гранка на теоријата на броевите. Типичните теми на оваа област ги вклучуваат покривачки систем, проблем на нулта сума, и аритметички прогресии во собирокот на цели броеви. Во оваа област се корисни алгебарските и аналитичките методи.
↑Уште во 1921 година Т. Л. Хит објаснил: „Под поимот аритметика, Платон не мислел, на аритметика во нашата смисла, него на наука која ги разматрува броевите сами по себе, со други зборови, онаа што ние го нарекуваме теорија на броеви.“ Heath 1921, стр. 13 harvnb error: no target: CITEREFHeath1921 (help)
Наводи
↑Long 1972, стр. 1. sfn error: no target: CITEREFLong1972 (help)
Apostol, Tom M. „An Introduction to the Theory of Numbers“. (Review of Hardy & Wright.) Mathematical Reviews (MathSciNet) MR0568909. American Mathematical Society. Посетено на 28 февруари 2016. Наводот journal бара |journal= (help)
Becker, Oskar (1936). „Die Lehre von Geraden und Ungeraden im neunten Buch der euklidischen Elemente“. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik. Abteilung B:Studien. Berlin: J. Springer Verlag. 3: 533–53.
Friberg, Jöran (1981). „Methods and Traditions of Babylonian Mathematics: Plimpton 322, Pythagorean Triples and the Babylonian Triangle Parameter Equations“. Historia Mathematica. Elsevier. 8 (3): 277–318. doi:10.1016/0315-0860(81)90069-0.
von Fritz, Kurt (2004). „The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum“. Во Christianidis, J. (уред.). Classics in the History of Greek Mathematics. Berlin: Kluwer (Springer). ISBN978-1-4020-0081-2.
Hopkins, J. F. P. (1990). „Geographical and Navigational Literature“. Во Young, M. J. L.; Latham, J. D.; Serjeant, R. B. (уред.). Religion, Learning and Science in the 'Abbasid Period. The Cambridge history of Arabic literature. Cambridge University Press. ISBN978-0-521-32763-3.
Huffman, Carl A. (8 август 2011). Zalta, Edward N. (уред.). „Pythagoras“. Stanford Encyclopaedia of Philosophy (Fall 2011. изд.). Посетено на 7 февруари 2012.
Iwaniec, Henryk; Kowalski, Emmanuel (2004). Analytic Number Theory. American Mathematical Society Colloquium Publications. 53. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN978-0-8218-3633-0.
O'Grady, Patricia (2004). „Thales of Miletus“. The Internet Encyclopaedia of Philosophy. Посетено на 7 февруари 2012.
Pingree, David; Ya'qub, ibn Tariq (1968). „The Fragments of the Works of Ya'qub ibn Tariq“. Journal of Near Eastern Studies. University of Chicago Press. 26.
Pingree, D.; al-Fazari (1970). „The Fragments of the Works of al-Fazari“. Journal of Near Eastern Studies. University of Chicago Press. 28.
Plofker, Kim (2008). Mathematics in India. Princeton University Press. ISBN978-0-691-12067-6.