In dit artikel gaan we dieper in op het onderwerp Kwadraatgetal, dat de aandacht heeft getrokken van academici, experts en het grote publiek vanwege de relevantie ervan vandaag de dag. Vanaf de oorsprong tot de implicaties ervan op verschillende gebieden is Kwadraatgetal het onderwerp geweest van debat en studie, waarbij verschillende soorten meningen en perspectieven zijn voortgekomen die het huidige panorama verrijken. Door middel van een gedetailleerde analyse willen we de lezer een brede en volledige visie op Kwadraatgetal bieden, waarbij we de meest relevante aspecten ervan bespreken om licht te werpen op dit onderwerp van groot belang.
In wiskunde is een kwadraatgetal, soms ook wel een perfect vierkant genoemd, een geheel getal dat kan worden geschreven als het kwadraat van een geheel getal; met andere woorden, het is het product van een willekeurig geheel getal met zichzelf. Zo is bijvoorbeeld 9 een kwadraatgetal, omdat het kan worden geschreven als 3 × 3. Kwadraatgetallen zijn niet-negatief. Een andere manier om te zeggen dat een (niet-negatief) getal een kwadraatgetal is, is dat de wortel van een kwadraatgetal een geheel getal is. Aangezien , is 9 een kwadraatgetal.
De eerste 50 kwadraatgetallen binnen de natuurlijke getallen zijn:
Het patroon tussen de perfecte vierkanten van negatief oneindig tot positief oneindig is als volgt:
en dus ook
Het getal m is dan en slechts dan een kwadraatgetal als men de m punten in een vierkant kan arrangeren:
m = 12 = 1 | |
m = 22 = 4 | |
m = 32 = 9 | |
m = 42 = 16 | |
m = 52 = 25 |
De uitdrukking voor het n-de kwadraatgetal is n2. Dat dit ook gelijk is aan de som van de eerste n oneven getallen kan men zien in de bovenstaande plaatjes, waar een vierkant de som is van het voorgaande vierkant met daarbij een oneven aantal punten (in cyaan) opgeteld. De formule volgt:
Zo is bijvoorbeeld 52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
Het verschil tussen twee willekeurige kwadraatgetallen is een oneven getal of de som van twee opeenvolgende oneven getallen.
Elk kwadraatgetal n2 kan ook geschreven worden als de som van een rekenkundige rij van n getallen met als eerste element (n+1)/2 en als verschil 1:
enzoverder. Hieruit blijkt dat als n een oneven getal is, het kwadraat ervan de som is van n opeenvolgende natuurlijke getallen.
Bronnen, noten en/of referenties |