In de wereld van vandaag is Reeks (wiskunde) een onderwerp geworden dat van groot belang en interessant is voor een grote verscheidenheid aan mensen. Van de impact op de samenleving tot de relevantie ervan in de politiek en de economie: Reeks (wiskunde) is erin geslaagd de aandacht van zowel experts als fans te trekken. Of het nu vanwege de invloed ervan op de populaire cultuur is of vanwege de betekenis ervan op academisch gebied, Reeks (wiskunde) heeft een debat teweeggebracht waaraan individuen van alle leeftijden en achtergronden actief deelnemen. Naarmate Reeks (wiskunde) blijft evolueren en nieuwe nuances aanneemt, wordt de noodzaak om het in al zijn complexiteit te begrijpen nog duidelijker. In dit artikel zullen we verschillende facetten van Reeks (wiskunde) en de impact ervan op de hedendaagse samenleving onderzoeken.
Het wiskundige begrip reeks is een uitbreiding van de optelling van rationale getallen, reële getallen, complexe getallen, functies, etc., tot het geval van een oneindige rij termen. Een reeks wordt genoteerd als een uitdrukking van de vorm
Voor een gegeven ruimte waarin de optelling is gedefinieerd, zoals de reële getallen, is er aldus een eenduidig verband tussen de rijen termen uit die ruimte, en de reeksen.
De eventuele uitkomst van de sommatie wordt, uitgedrukt in de termen van de reeks, hetzelfde genoteerd als de reeks, dus
Soms wordt ook bij een eindig aantal termen wel de aanduiding reeks gebruikt, bijvoorbeeld rekenkundige reeks bij de sommatie van een eindig aantal opeenvolgende elementen van een rekenkundige rij.
De term 'reeks' in de bovengenoemde betekenis is specifiek voor de analyse en toepassingen daarvan. In het dagelijkse spraakgebruik en in andere disciplines is 'reeks' synoniem met 'rij', evenals in oudere wiskundeliteratuur.
Voor iedere rij in een verzameling waarin een optelling is gedefinieerd, is de daarmee geassocieerde reeks gedefinieerd als de formele som
De elementen van de rij zijn de termen van de reeks.
De som van de eerste termen van de rij wordt partiële som of ook wel partieelsom genoemd:
Als de rij van partiële sommen convergeert, schrijft men voor de limiet:
Een 'reeks' wordt ook wel formeel gedefinieerd als een bepaalde combinatie van een rij en de rij van zijn partiële sommen, bijvoorbeeld .
Voor reeksen met termen in een gegeven metrische ruimte (met optelling), is het zinvol het bestaan van de som te onderzoeken.
Een reeks heet convergent als de rij der partiële sommen convergeert naar een eindige limiet . In dat geval noemt men de som van de reeks:
Als de rij der partiële sommen convergeert, moet de rij der afzonderlijke termen convergeren naar 0. Het omgekeerde geldt echter niet: een reeks waarvan de termen convergeren naar 0, kan nog steeds divergent (niet convergent ) zijn; zie bijvoorbeeld de harmonische reeks hieronder.
We beperken ons nu tot reeksen waarvan de termen reële getallen zijn.
Een reeks heet absoluut convergent als de absolute waarden van de termen op hun beurt de bouwstenen zijn van een convergente reeks.
In formulevorm: de reeks heet absoluut convergent als de reeks een convergente reeks is.
Elke absoluut convergente reeks is convergent. Bij een absoluut convergente reeks kan men de volgorde van de termen willekeurig omgooien zonder de reekssom te beïnvloeden. Bij een convergente reeks die niet absoluut convergent is (een voorwaardelijk convergente reeks), geldt dit helemaal niet. Men kan dan door een goed gekozen herschikking van de termen zelfs eender welke limiet bereiken.
De reeks voortgebracht door de machten van een getal met absolute waarde kleiner dan 1 is absoluut convergent:
Dit is als volgt te bewijzen:
Zie ook, meer algemeen, meetkundige reeks.
De harmonische rij is in de wiskunde de rij
dus met algemene term .
Het is een van de eenvoudigste rijen met de eigenschap (zie grote-O-notatie), dus de eigenschap dat begrensd is.
De bijbehorende harmonische reeks
is divergent.
De reeks is voor grote bij benadering gelijk aan : beide gaan naar oneindig, maar het verschil heeft als limiet de constante van Euler-Mascheroni.
Een hyperharmonische reeks is een reeks van de vorm
waarin .
De volgende gevallen kunnen onderscheiden worden:
Bij een alternerende reeks wisselen de termen elke keer van teken. Een alternerende reeks, waarvan de absolute waarde van de algemene term convergeert naar nul en elke term in absolute waarde niet groter is dan zijn voorganger, is convergent.
De reeks is convergent, maar niet absoluut convergent:
Deze reeks heet alternerende harmonische reeks.
Andere typen reeksen zijn onder andere:
Voorbeelden van reeksen die een relatie hebben met het getal .
Van Leonhard Euler zijn de reeksen:
en
Van Gottfried Wilhelm von Leibniz zijn de reeksen:
en
Bronnen, noten en/of referenties
|