Dopełnienie ortogonalne

Dopełnienie ortogonalne podzbioru ${\displaystyle A}$ przestrzeni ${\displaystyle V}$ z określonym iloczynem skalarnym – zbiór wszystkich elementów w przestrzeni ${\displaystyle V,}$ które są ortogonalne do każdego elementu zbioru ${\displaystyle A.}$ Symbolicznie:

${\displaystyle A^{\bot }:=\left\{x\in V:\forall y\in A\ \langle x,y\rangle =0\right\}.}$

Własności

• Dopełnienie ortogonalne podzbioru przestrzeni Hilberta jest zbiorem domkniętym.
• W przestrzeni Hilberta ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ dwukrotne złożenie dopełnienia ortogonalnego dla danego zbioru ${\displaystyle A\subseteq {\mathcal {H}}}$ jest domknięciem powłoki liniowej, tj.

${\displaystyle (A^{\bot })^{\bot }={\overline {\mathrm {lin} A}}.}$