W tym artykule poznamy fascynujący świat Kula i wszystko, co się z nim wiąże. Od jego początków po dzisiejsze znaczenie – zagłębimy się w szczegółową analizę tego tematu, który przykuł uwagę zarówno ekspertów, jak i entuzjastów. Dzięki podejściu multidyscyplinarnemu zbadamy różne aspekty związane z Kula, od jego wpływu na społeczeństwo po wpływ na różne dziedziny nauki. Podobnie będziemy starali się zrozumieć jego historyczne znaczenie i możliwą ewolucję w przyszłości. Ostatecznie ten artykuł ma na celu przedstawienie kompleksowego spojrzenia na Kula, oferując wzbogacającą i pouczającą perspektywę dla wszystkich zainteresowanych głębszym zgłębieniem tego tematu.
Definicja intuicyjna |
Kula to zbiór punktów oddalonych nie bardziej niż pewna zadana odległość (promień kuli) od wybranego punktu (środek kuli). |
Kula – uogólnienie pojęcia koła na więcej wymiarów, zdefiniowane dla wszystkich przestrzeni metrycznych.
Kula w danej przestrzeni metrycznej – zbiór elementów tej przestrzeni, zdefiniowany jako:
dla pewnych które nazywamy odpowiednio środkiem i promieniem kuli.
W wielu źródłach tak zdefiniowany zbiór nazywany jest kulą domkniętą dla odróżnienia od zbioru określanego jako kula otwarta (inaczej kula bez brzegu) i definiowanego następująco:
Intuicyjnie rozumiana kula – w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej dla metryki euklidesowej – jest to część przestrzeni, ograniczona sferą (sfera jest powierzchnią (brzegiem) kuli i również się w niej zawiera).
Taką kulę można wówczas opisać wzorem jako zbiór punktów, których współrzędne spełniają nierówność:
gdzie są współrzędnymi środka kuli, a oznacza jej promień, natomiast w układzie współrzędnych sferycznych, dla środka znajdującego się w środku układu współrzędnych:
W -wymiarowej przestrzeni euklidesowej wzór ten ma natychmiastowe uogólnienie – kula o środku w punkcie i promieniu to zbiór punktów których współrzędne spełniają nierówność:
Nietrudno zauważyć, że w dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej kulą jest koło, zaś w jednowymiarowej – odcinek.
Dla innych metryk kula wyglądać będzie inaczej. Przykładowo, w przestrzeni o metryce Manhattan do kuli należą punkty, spełniające nierówność:
Natomiast w przestrzeni liter alfabetu łacińskiego, gdzie metryką byłaby odległość między poszczególnymi literami w szyku alfabetu, kulą jest np. zbiór – promień tej kuli wynosi 1, a jej środkiem jest
Cięciwa kuli to odcinek o końcach na brzegu kuli.
Średnica kuli to cięciwa przechodząca przez środek kuli. Termin ten oznacza również długość tej cięciwy – równą podwojonej długości promienia kuli. Termin ten został uogólniony na wszelkie zbiory w przestrzeni metrycznej (zobacz średnica zbioru).
Koło wielkie kuli to koło o promieniu tej kuli, o środku w środku kuli.
W powyższych wzorach jest jedną z najsłynniejszych stałych matematycznych, szerzej opisaną w artykule Pi, zaś oznacza funkcję gamma.
Uwaga: Brzegiem -wymiarowej kuli jest -wymiarowa sfera.
W topologii kulę definiujemy jako rozmaitość topologiczną, homeomorficzną z kulą geometryczną, zdefiniowaną jak powyżej.