Otoczenie i sąsiedztwo

Otoczenie – wieloznaczne pojęcie matematyczne, różnie definiowane w analizie i topologii. W każdym wypadku jest to pewien typ zbioru zawierającego dany punkt lub ustalony zbiór. Czasem wymaga się, by otoczenie było zbiorem otwartym.

Blisko powiązanym pojęciem jest sąsiedztwo punktu – otoczenie punktu z wyłączeniem jego samego. Jeśli ${\displaystyle U_{x}}$ jest otoczeniem punktu ${\displaystyle x,}$ to jego sąsiedztwem nazywa się różnicę zbiorów:

${\displaystyle S_{x}:=U_{x}\setminus \{x\}.}$

Za pomocą otoczeń i sąsiedztw definiuje się inne pojęcia matematyczne, np. część przedmiotów analizy jak ekstremum funkcji i granice funkcji w punkcie.

Otoczenia i sąsiedztwa liczb rzeczywistych

Na prostej rzeczywistej ${\displaystyle \mathbb {R} }$ otoczenie punktu ${\displaystyle x_{0}}$ definiuje się jako pewien typ przedziału otwartego; dokładne znaczenie zależy od kontekstu:

• otoczenie w sensie wąskim (sensu stricto) to każdy przedział otwarty złożony ze wszystkich liczb odległych od ${\displaystyle x_{0}}$ o mniej niż ustalona wartość, zwana promieniem otoczenia:

${\displaystyle {\begin{aligned}U(x_{0},\varepsilon )&:=\{x\in \mathbb {R} :|x-x_{0}|<\varepsilon \}=\\&=(x_{0}-\varepsilon ;x_{0}+\varepsilon ).\end{aligned}}}$

• otoczenie w sensie szerokim (sensu largo) to dowolny przedział otwarty zawierający punkt ${\displaystyle x_{0}}$; punkt ten nie musi być pośrodku tego przedziału, a przedział nie musi być ograniczony – może nim być cała oś rzeczywista:

${\displaystyle U_{x}=(a;b)=\{x:a<x<b\}.}$

Oprócz tego dla każdego punktu ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ definiuje się:

• sąsiedztwo, czyli różnicę odpowiedniego przedziału i tego punktu, tj. sumę mnogościową przedziałów: ${\displaystyle S_{x}=(a;b)\setminus \{x\}=(a;x)\cup (x;b);}$
• sąsiedztwo lewostronne, czyli przedział otwarty, którego prawym końcem (kresem górnym) jest ten punkt: ${\displaystyle S_{x}^{-}=(a;x);}$
• sąsiedztwo prawostronne, czyli przedział otwarty, którego lewym końcem (kresem dolnym) jest ten punkt: ${\displaystyle S_{x}^{+}=(x;a).}$

Za pomocą sąsiedztw jednostronnych definiuje się granice jednostronne funkcji w punkcie.

Otoczenia w przestrzeniach metrycznych

W przestrzeni metrycznej ${\displaystyle X}$ z metryką ${\displaystyle d}$ otoczenie punktu można określić za pomocą kul otwartych.

Otoczenia punktu

${\displaystyle V}$ jest otoczeniem punktu ${\displaystyle p}$ jeśli istnieje kula otwarta o środku w punkcie ${\displaystyle p}$ i promieniu ${\displaystyle r>0,}$ tj.

${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X\colon d(x,p)<r\},}$

która jest zawarta w zbiorze ${\displaystyle V.}$

Przykłady otoczeń otwartych

• Na płaszczyźnie euklidesowej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ otoczeniem otwartym punktu ${\displaystyle x}$ jest np. dowolne koło bez brzegu zawierające ten punkt (niekoniecznie umieszczony w środku koła), zaś jego sąsiedztwem jest to koło bez tego punktu.
• W przestrzeni euklidesowej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ otoczeniem otwartym punktu ${\displaystyle x}$ jest np. dowolna kula bez brzegu zawierająca ten punkt (niekoniecznie umieszczony w środku kuli), zaś jego sąsiedztwem jest kula bez tego punktu.

Otoczenia jednostajne zbioru

Otoczeniem jednostajnym zbioru ${\displaystyle S}$ w przestrzeni metrycznej nazwiemy zbiór ${\displaystyle V}$ o tej własności, że istnieje taka liczba ${\displaystyle r>0,}$ że dla każdego ${\displaystyle p\in S}$ kula otwarta o środku w punkcie ${\displaystyle p}$ i promieniu ${\displaystyle r,}$ tj.

${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X\colon d(x,p)<r\},}$

jest zawarta w zbiorze ${\displaystyle V.}$

Innymi słowy, zbiór ${\displaystyle V}$ jest sumą wszystkich kul o ustalonym promieniu i środkach w punktach zbioru ${\displaystyle S.}$

Otoczenia w przestrzeniach topologicznych

Otoczenia punktu

Niech ${\displaystyle x}$ będzie elementem przestrzeni topologicznej ${\displaystyle (X,\tau ).}$ Zbiór ${\displaystyle V\subseteq X}$ jest otoczeniem punktu ${\displaystyle x,}$ gdy istnieje zbiór otwarty ${\displaystyle U\in \tau ,}$ dla którego

${\displaystyle x\in U\subseteq V.}$

Innymi słowy, zbiór ${\displaystyle V}$ jest otoczeniem punktu ${\displaystyle x,}$ jeśli ${\displaystyle x\in {\text{Int}}V,}$ gdzie ${\displaystyle {\text{Int}}V}$ oznacza wnętrze zbioru ${\displaystyle V}$.

Uwaga 1: Otoczenie punktu nie musi być zbiorem otwartym – wystarczy, że zawiera zbiór otwarty zawierający dany punkt. W szczególności, otoczenie może być zbiorem domkniętym, zwartym itd. Otoczenia takie nazywamy odpowiednio otoczeniem otwartym, domkniętym, zwartym itp.

Uwaga 2: Należy zwracać uwagę na konwencje stosowane przez różnych autorów. Niektórzy z nich za otoczenia punktu przyjmują wyłącznie zbiory otwarte zawierające dany punkt. W stosowanej tu terminologii otoczenia takie nazywamy otoczeniami otwartymi.

Otoczenia zbioru

Niech ${\displaystyle S}$ jest podzbiorem ${\displaystyle X.}$ Otoczeniem zbioru ${\displaystyle S}$ jest zbiór zawierający zbiór otwarty, który zawiera ${\displaystyle S.}$ W szczególności, otoczenie zbioru jest otoczeniem każdego punktu tego zbioru

Inaczej mówiąc suma otoczeń wszystkich punktów zbioru jest jego otoczeniem.

System otoczeń a topologia

Jeżeli dla każdego punktu ${\displaystyle x}$ zbioru ${\displaystyle X}$ dana jest pewna rodzina ${\displaystyle B(x)}$ podzbiorów ${\displaystyle U}$ zbioru ${\displaystyle X}$ spełniająca warunki:

1. dla każdego ${\displaystyle U\in B(x)}$ mamy, że ${\displaystyle x\in U,}$
2. dla dowolnego ${\displaystyle U\in B(x)}$ istnieje takie ${\displaystyle V\in B(x),}$ że ${\displaystyle U\in B(y)}$ dla wszelkich ${\displaystyle y\in V,}$

to fakt ten można wykorzystać do określenia topologii w zbiorze ${\displaystyle X{:}}$ zbiór otwarty definiuje się jako zbiór, który wraz z każdym swoim punktem ${\displaystyle x}$ zawiera również pewien zbiór z rodziny ${\displaystyle B(x).}$

Otoczenie jako pojęcie pierwotne aksjomatyki

Pierwsza aksjomatyka przestrzeni topologicznej, podana przez Hausdorffa, była oparta na pojęciu otoczenia.

Definicja. Przestrzenią topologiczną nazywamy parę ${\displaystyle (X,\tau )}$ złożoną ze zbioru ${\displaystyle X}$ oraz rodziny

${\displaystyle \tau =\{\tau _{x}\}_{x\in X}}$

zbiorów ${\displaystyle \tau _{x},}$ których elementami są podzbiory (zwane otoczeniami elementu ${\displaystyle x}$) zbioru ${\displaystyle X}$ spełniające następujące aksjomaty:

1. Każde otoczenie ${\displaystyle x}$ zawiera ${\displaystyle x}$ oraz zbiór ${\displaystyle X}$ jest otoczeniem każdego swojego punktu.
2. Każdy zbiór zawierający jakieś otoczenie ${\displaystyle x}$ jest także otoczeniem ${\displaystyle x.}$
3. Przecięcie dowolnej pary otoczeń ${\displaystyle x}$ jest także otoczeniem ${\displaystyle x.}$
4. W każdym otoczeniu ${\displaystyle x}$ zawarte jest takie otoczenie ${\displaystyle x,}$ które jest zarazem otoczeniem każdego swojego punktu.

Zobacz też

• Baza otoczeń

Przypisy

Bibliografia

• Klaus Jänich: Topologia. Warszawa: PWN, 1991.
• W. Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009.
• Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1962.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Neighborhood, MathWorld, Wolfram Research  (ang.). .
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Open Neighborhood, MathWorld, Wolfram Research  (ang.). .
• Neighbourhood (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org .