Szereg Fouriera

Ten artykuł wymaga uzupełnienia informacji. Artykuł należy uzupełnić o istotne informacje: artykuł wymaga uzupełnienia o szeregi Fouriera w przestrzeniach Hilberta. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Szereg Fouriera – szereg pozwalający rozłożyć funkcję okresową, spełniającą warunki Dirichleta, na sumę funkcji trygonometrycznych. Nauka na temat szeregów Fouriera jest gałęzią analizy Fouriera. Szeregi Fouriera zostały wprowadzone w 1807 roku przez Josepha Fouriera w celu rozwiązania równania ciepła dla metalowej płyty. Doprowadziło to jednak do przewrotu w matematyce i wprowadzenia wielu nowych teorii. Dziś mają one wielkie znaczenie między innymi w fizyce, teorii drgań oraz przetwarzaniu sygnałów obrazu (kompresja jpeg) i dźwięku (kompresja mp3).

Zbieżność szeregu Fouriera udowodnił Dirichlet w 1829.

Definicja

Niech dana będzie funkcja okresowa ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ o okresie ${\displaystyle T\in \mathbb {R} ^{+},}$ bezwzględnie całkowalna w przedziale ${\displaystyle \left.}$

Trygonometrycznym szeregiem Fouriera funkcji ${\displaystyle f}$ nazywamy szereg funkcyjny następującej postaci:

${\displaystyle S(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\cos \left({\frac {2n\pi }{T}}x\right)+b_{n}\sin \left({\frac {2n\pi }{T}}x\right)\right)}$

(1.1)

o współczynnikach określonych następującymi wzorami:

${\displaystyle a_{n}={\frac {2}{T}}\int \limits _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(x)\cos \left({\frac {2n\pi }{T}}x\right)dx,\quad n=0,1,2,\dots ,}$

(1.2)

${\displaystyle b_{n}={\frac {2}{T}}\int \limits _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(x)\sin \left({\frac {2n\pi }{T}}x\right)dx,\quad n=1,2,3,\dots }$

(1.3)

Powyższe wzory po raz pierwszy ujrzały światło dzienne w pracach Jeana-Baptiste Josepha Fouriera. Niemniej jednak po raz pierwszy wyprowadził je Leonhard Euler (prac na ten temat nie opublikował). Z tego względu wzory te noszą nazwę wzorów Eulera-Fouriera.

W fizyce i technice często spotykane jest następujące oznaczenie (${\displaystyle T}$ oznacza okres funkcji) ${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}.\ {}}$ ${\displaystyle \omega }$ nosi nazwę pulsacji lub częstości kołowej. Przy zastosowaniu takiego oznaczenia powyższe wzory przyjmują postać:

${\displaystyle S(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\cos \left(n\omega x\right)+b_{n}\sin \left(n\omega x\right)\right),}$

(1.1a)

${\displaystyle a_{n}={\frac {2}{T}}\int \limits _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(x)\cos \left(n\omega x\right)dx,\quad n=0,1,2,\dots ,}$

(1.2a)

${\displaystyle b_{n}={\frac {2}{T}}\int \limits _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(x)\sin \left(n\omega x\right)dx,\quad n=1,2,3,\dots }$

(1.3a)

Własności

Poniższe twierdzenia dot. rozwijalności funkcji w szereg Fouriera. W dalszym ciągu zakładamy, że okres funkcji wynosi 2T.

Lemat I (całki pomocnicze)

• ${\displaystyle n}$ jest liczbą całkowitą

${\displaystyle \int \limits _{-T}^{T}\cos n\omega xdx=\left\{{\begin{aligned}&0&&{\text{gdy}}~~n\neq 0\\&2T&&{\text{gdy}}~~n=0\end{aligned}}\right.,}$

${\displaystyle \int \limits _{-T}^{T}\sin n\omega xdx=0.}$

• ${\displaystyle m,\ n}$ są liczbami naturalnymi

${\displaystyle \int \limits _{-T}^{T}\cos n\omega x\cos m\omega xdx=\left\{{\begin{aligned}&0&&{\text{gdy}}~~n\neq m\\&T&&{\text{gdy}}~~n=m\end{aligned}}\right.,}$

${\displaystyle \int \limits _{-T}^{T}\sin n\omega x\sin m\omega xdx=\left\{{\begin{aligned}&0&&{\text{gdy}}~~n\neq m\\&T&&{\text{gdy}}~~n=m\end{aligned}}\right.,}$

${\displaystyle \int \limits _{-T}^{T}\sin n\omega x\cos m\omega xdx=0.}$

Lemat II

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\cos n\alpha ={\frac {\sin \left(N+{\frac {1}{2}}\right)\alpha }{2\sin {\frac {1}{2}}\alpha }}}$

Dowód

${\displaystyle {\begin{aligned}&\;{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\cos n\alpha \\=&\ \Re \left(-{\frac {1}{2}}+\sum _{n=0}^{N}e^{in\alpha }\right)\\=&\ \Re \left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1-e^{i(N+1)\alpha }}{1-e^{i\alpha }}}\right)\\=&-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{|1-e^{i\alpha }|^{2}}}\Re ((1-e^{i(N+1)\alpha })(1-e^{-i\alpha }))\\=&-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{(1-\cos \alpha )^{2}+\sin ^{2}\alpha }}\Re (1-e^{-i\alpha }-e^{i(N+1)\alpha }+e^{iN\alpha })\end{aligned}}}$

więc mamy (biorąc cześć rzeczywistą i stosując podstawowe wzory trygonometryczne):

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\cos n\alpha \\=&-{\frac {1}{2}}+{\frac {1-\cos \alpha -\cos(N+1)\alpha +\cos N\alpha }{2(1-\cos \alpha )}}\\=&\;{\frac {\cos N\alpha -\cos(N+1)\alpha }{2(1-\cos \alpha )}}\\=&\;{\frac {2\sin \left(N+{\frac {1}{2}}\right)\alpha \sin {\frac {1}{2}}\alpha }{4\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\alpha }}\\=&\;{\frac {\sin \left(N+{\frac {1}{2}}\right)\alpha }{2\sin {\frac {1}{2}}\alpha }}\end{aligned}}}$

q. e. d.

Lemat III

Jeżeli ${\displaystyle f}$ jest funkcją ciągłą w przedziale ${\displaystyle }$ z wyjątkiem co najwyżej skończonej ilości punktów i bezwzględnie całkowalną w tym przedziale to

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int \limits _{a}^{b}f(x)\sin nx\,{\text{d}}x=0.}$

Twierdzenie (Eulera–Fouriera)

Jeżeli szereg o postaci (1.1) jest jednostajnie zbieżny do funkcji ${\displaystyle f}$ to współczynniki ${\displaystyle a_{k},\ b_{k}}$ wyrażają się wzorami (1.2), (1.3).

Dowód

${\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left(a_{k}\cos k\omega x+b_{k}\sin k\omega x\right).}$

Mnożąc powyższą równość przez ${\displaystyle \cos n\omega x,}$ całkując szereg w granicach od ${\displaystyle -T}$ do ${\displaystyle T}$ (uwzględniając zbieżność jednostajną szeregu stosujemy twierdzenie o całkowaniu szeregu wyraz po wyrazie) otrzymujemy:

${\displaystyle \int \limits _{-T}^{T}f(x)\cos n\omega x{\text{d}}x={\frac {a_{0}}{2}}\int \limits _{-T}^{T}\cos n\omega x{\text{d}}x+\sum _{k=1}^{\infty }\left(a_{k}\int \limits _{-T}^{T}\cos n\omega x\cos k\omega x{\text{d}}x+b_{k}\int \limits _{-T}^{T}\cos n\omega x\sin k\omega x{\text{d}}x\right).}$

Na mocy lematu I zerują się wszystkie całki po prawej stronie takie że ${\displaystyle n\neq k}$ (gdy ${\displaystyle n=0}$ zeruje się cała suma uogólniona). W związku z tym mamy:

${\displaystyle \int \limits _{-T}^{T}f(x)\cos n\omega x{\text{d}}x=a_{n}T.}$

Stąd otrzymujemy wzór (1.2).

Dowód wzoru (1.3) przebiega analogicznie (tym razem mnożymy przez ${\displaystyle \sin n\omega x}$)

Twierdzenie (o rozwijalności funkcji w szereg Fouriera)

Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna w punkcie ${\displaystyle x_{0},}$ to jej szereg Fouriera jest zbieżny do wartości funkcji w tym punkcie. Innymi słowy: w punktach różniczkowalności funkcję da się rozwinąć w szereg Fouriera.

Dowód

Niech ${\displaystyle x_{0}}$ będzie punktem, w którym funkcja f(x) jest różniczkowalna; mamy:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\;a_{n}\cos n\omega x_{0}+b_{n}\sin n\omega x_{0}\\=&\;{\frac {1}{T}}\int \limits _{-T}^{T}f(x)\cos n\omega xdx\cos n\omega x_{0}+{\frac {1}{T}}\int \limits _{-T}^{T}f(x)\sin n\omega xdx\sin n\omega x_{0}\\=&\;{\frac {1}{T}}\int \limits _{-T}^{T}f(x)(\cos n\omega x\cos n\omega x_{0}+\sin n\omega x\sin n\omega x_{0})dx\\=&\;{\frac {1}{T}}\int \limits _{-T}^{T}f(x)\cos n\omega (x-x_{0})dx.\end{aligned}}}$

Suma cząstkowa szeregu Fouriera przedstawia się w następujący sposób:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{N}&={\frac {1}{2T}}\int \limits _{-T}^{T}f(x)dx+\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{T}}\int \limits _{-T}^{T}f(x)\cos n\omega (x-x_{0})dx\\&={\frac {1}{T}}\int \limits _{-T}^{T}f(x)\left({\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\cos n\omega (x-x_{0})\right)dx.\end{aligned}}}$

Stosując do tego wyrażenia lemat II, otrzymujemy następujący wzór:

${\displaystyle S_{N}={\frac {1}{T}}\int \limits _{-T}^{T}f(x){\frac {\sin \omega \left(N+{\frac {1}{2}}\right)(x-x_{0})}{2\sin \omega {\frac {1}{2}}(x-x_{0})}}dx.}$

Funkcja podcałkowa w powyższym wzorze jest funkcją o okresie 2T, możemy więc dokonać przesunięcia w dziedzinie i otrzymujemy:

${\displaystyle S_{N}={\frac {1}{T}}\int \limits _{-T}^{T}f(x+x_{0}){\frac {\sin \omega \left(N+{\frac {1}{2}}\right)x}{2\sin \omega {\frac {1}{2}}x}}dx.}$

Funkcja tożsamościowo równa 1 na całym zbiorze liczb rzeczywistych jest rozwijalna w szereg Fouriera w każdym punkcie, kładąc ${\displaystyle f(x)=1,}$ mamy:

${\displaystyle 1={\frac {1}{T}}\int \limits _{-T}^{T}{\frac {\sin \omega \left(N+{\frac {1}{2}}\right)x}{2\sin \omega {\frac {1}{2}}x}}dx.}$

Mnożąc powyższą równość przez ${\displaystyle f(x_{0})}$ i odejmując obustronnie od równania przedstawiającego sumę cząstkową szeregu, otrzymujemy:

${\displaystyle S_{N}-f(x_{0})={\frac {1}{T}}\int \limits _{-T}^{T}(f(x+x_{0})-f(x_{0})){\frac {\sin \omega \left(N+{\frac {1}{2}}\right)x}{2\sin \omega {\frac {1}{2}}x}}dx.}$

(2)

Rozważmy następującą granicę:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {f(x+x_{0})-f(x_{0})}{2\sin \omega {\frac {1}{2}}x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {f(x+x_{0})-f(x_{0})}{x}}{\frac {x}{2\sin \omega {\frac {1}{2}}x}}={\frac {f'(x_{0})}{\omega }},}$

przy obliczaniu której korzystamy z różniczkowalności funkcji f(x) w punkcie ${\displaystyle x_{0}.}$

Możemy określić następującą funkcję:

${\displaystyle \phi (x)=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {f(x+x_{0})-f(x_{0})}{2\sin \omega {\frac {1}{2}}x}}&&{\text{gdy}}~~x\neq 0\\&{\frac {f'(x_{0})}{\omega }}&&{\text{gdy}}~~x=0\end{aligned}}\right..}$

Mając na uwadze fakt, iż zmiana skończonej ilości wartości funkcji podcałkowej nie wpływa na wartość całki, wzór (2) możemy zapisać w postaci:

${\displaystyle S_{N}-f(x_{0})={\frac {1}{T}}\int \limits _{-T}^{T}\phi (x)\sin \omega \left(N+{\frac {1}{2}}\right)xdx.}$

Funkcja podcałkowa spełnia założenia lematu Riemanna, tak więc:

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }(S_{N}-f(x_{0}))=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{T}}\int \limits _{-T}^{T}\phi (x)\sin \omega \left(N+{\frac {1}{2}}\right)xdx=0,}$

czyli:

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }S_{N}=f(x_{0}).}$

q. e. d.

Przypisy

Bibliografia

• Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.

Linki zewnętrzne

Polskojęzyczne

• Materiały dydaktyczne DSP AGH. dsp.agh.edu.pl. .

Anglojęzyczne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Fourier Series, MathWorld, Wolfram Research   (ang.).
• Aplet Java obrazujący idee szeregu Fouriera
• Grant Sanderson, But what is a Fourier series? From heat flow to circle drawings, kanał 3blue1brown na YouTube, 30 czerwca 2019 .