она даје аналитичко продужење почетно дефинисаној -функцији до полуравни , са полом у , затим до полуравни , са још једним полом у , итд. Тако се -функција продужује до мероморфне функције, дефинисане за све комплексне бројеве осим полова у непозитивнимцелим бројевима Под -функцијом се, по правилу, подразумева овако дефинисано продужење.
Основна својства
Гама-функција није елементарна функција, али су њена својства веома добро истражена због њене повезаности са факторијелом и примене у теорији бројева. Међу најважнијима особинама Гама-функције су функционална једначина
Гама-функција нема нула. У тачкама , где је ненегативан цео број, гама-функција има пол реда 1 са остатком; њено понашање у околини полова одређено је функционалном једначином.
За све z где је гама-функција дефинисана, важи и следећи бесконачан производ
где је γ Ојлерова константа, који се добија као Вајерштрасов производ функције , која је цела јер гама-функција нема нула, и реда 1 према Стрилинговој формули. Некад се заправо за дефиницију гама-функције узима овај производ, или неки од еквивалентних облика
Ваљда најпознатија вредност гама-функције за нецелобројне вредности аргумента је , што се може видети нпр. коришћењем дупликационе формуле. Овај резултат даје и вредност такозваног интеграла вероватноће
који је од изузетне важности у вероватноћи и статистици. Тако једноставне формуле нису познате већ нпр. за (). За и је познато да су трансцендентни, као и . Такође, .
Веома ретко користе се и алтернативне ознаке и . Тако је , док је функција π цела.
Дупликациона формула је специјални случај следеће Гаусове теореме о производу:
Гама-функција је од изузетног значаја у математичкој анализи, вероватноћи и статистици, теорији бројева, комбинаторици и другим областима математике, те у физици, техници и другим областима.
Историјат
Гама-функцију први је посматрао и изучавао Леонард Ојлер, који је доказао и функционалну једначину. Неки је називају и Ојлеровим интегралом друге врсте. Ознаку је увео Адријан-Мари Лежандр, коме дугујемо дупликациону формулу.
Индијски математичар Рамануџан доказао је низ фасцинантних идентитета са гама-функцијом.
Гама функција се може израчунати са фиксном прецизношћу за применом парцијалне интеграције у Ојлеровом интегралу. За било који позитивни број x може се написати гама функција
Кад је Re(z) ∈ и , апсолутна вредност задњег интеграла је мања од . Одабиром довољно великог , овај последњи израз може се учинити мањим од за било коју жељену вредност . Тако се гама функција може проценити на бита прецизности са горенаведеном серијом.
Е.А. Каратсуба је конструисао брз алгоритам за израчунавање Ојлерове гама функције за било који алгебарски аргумент (укључујући и рационални).
Један аутор описује гама функцију као „Аргументирано, најчешћу специјалну функцију, или најмање 'посебну' од њих. Друге трансценденталне функције називају се 'посебне', јер бисте неке од њих могли избећи држањем подаље од многих специјализованих математичких тема. Са друге стране, гама функцију y = Γ(x) је најтеже избећи.”
Artin, Emil (2006). „The Gamma Function”. Ур.: Rosen, Michael. Exposition by Emil Artin: a selection. History of Mathematics. 30. Providence, RI: American Mathematical Society.
Press, W. H.; Teukolsky, S. A.; Vetterling, W. T.; Flannery, B. P. (2007). „Section 6.1. Gamma Function”. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd изд.). New York: Cambridge University Press. ISBN978-0-521-88068-8. Архивирано из оригинала 27. 10. 2021. г. Приступљено 16. 12. 2018.
Rocktäschel, O. R. (1922). Methoden zur Berechnung der Gammafunktion für komplexes Argument [Methods for Calculating the Gamma Function for Complex Arguments]. Dresden: Technical University of Dresden.
Temme, Nico M. (1996). Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics. New York: John Wiley & Sons. ISBN978-0-471-11313-3.
Amdeberhan, T.; Coffey, Mark W.; Espinosa, Olivier; Koutschan, Christoph; Manna, Dante V.; Moll, Victor H. (2011). „Integrals of powers of loggamma”. Proc. Amer. Math. Soc. 139 (2): 535—545. doi:10.1090/S0002-9939-2010-10589-0.
Borwein, J.; Bailey, D. H.; Girgensohn, R. (2003). Experimentation in Mathematics. A. K. Peters. стр. 133. ISBN978-1-56881-136-9.