กราฟของฟังก์ชันแกมมาบนระนาบจำนวนจริง
ฟังก์ชันแกมมา (อังกฤษ : Gamma function ) เป็นฟังก์ชัน ทางคณิตศาสตร์ ที่เป็นส่วนขยายของฟังก์ชันแฟกทอเรียล บนจำนวนเชิงซ้อน หรือสามารถกล่าวได้อีกอย่างหนึ่งว่า ฟังก์ชันแกมมาเป็นการเติมเต็มฟังก์ชันแฟกทอเรียลของค่า n ที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม บวกหรือศูนย์ สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z ซึ่งส่วนจริงเป็นค่าบวก ได้นิยามไว้ว่า
Γ
(
z
)
=
∫
0
∞
t
z
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t}
นิยามดังกล่าวทำให้ผลลัพธ์สามารถขยายไปได้ถึงระนาบจำนวนเชิงซ้อน ยกเว้นเมื่อส่วนจริงเป็นจำนวนเต็มลบ สำหรับกรณีถ้า z มีค่าเป็นจำนวนเต็มบวก จะได้
Γ
(
z
)
=
(
z
−
1
)
!
{\displaystyle \Gamma (z)=(z-1)!\,}
ซึ่งแสดงให้เห็นว่ามีความเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันแฟกทอเรียล
ฟังก์ชันแกมมาเป็นองค์ประกอบหนึ่งในฟังก์ชันที่เกี่ยวกับการกระจายและความน่าจะเป็นหลากหลายฟังก์ชัน นั่นหมายความว่าฟังก์ชันนี้นำไปใช้ได้ในเรื่องของความน่าจะเป็น และสถิติ
นิยาม
นิยามหลัก
ส่วนขยายของฟังก์ชันแกมมาบนระนาบจำนวนเชิงซ้อน
สัญกรณ์ Γ (z ) กำหนดขึ้นโดยอาเดรียง-มารี เลอช็องดร์ (Adrien-Marie Legendre) ซึ่งใช้อักษรกรีก แกมมา ตัวใหญ่ (Γ) แทนชื่อฟังก์ชัน โดยนิยามไว้ว่า ถ้าส่วนจริง ของจำนวนเชิงซ้อน z เป็นค่าบวก (ℜ{z } > 0) ดังนั้นปริพันธ์ นี้
Γ
(
z
)
=
∫
0
∞
t
z
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t\,\!}
จะลู่เข้าสัมบูรณ์ โดยการหาปริพันธ์ทีละส่วน จะสามารถแสดงได้ว่า
Γ
(
z
+
1
)
=
z
Γ
(
z
)
(
1
)
{\displaystyle \Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\,\!}
สมการเชิงฟังก์ชัน นี้เป็นข้อสรุปทั่วไปสำหรับความสัมพันธ์ n ! = n (n − 1) ! ของฟังก์ชันแฟกทอเรียล เราสามารถวิเคราะห์การประเมินค่าของ Γ (1) ได้ว่า
Γ
(
1
)
=
∫
0
∞
e
−
t
d
t
=
lim
k
→
∞
−
e
−
t
|
0
k
=
−
0
−
(
−
1
)
=
1
{\displaystyle \Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}dt=\lim _{k\rightarrow \infty }-e^{-t}|_{0}^{k}=-0-(-1)=1}
โดยการรวมความสัมพันธ์ข้างต้นสองประการ แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันแฟกทอเรียลเป็นกรณีพิเศษอันหนึ่งของฟังก์ชันแกมมา ดังนี้
Γ
(
n
+
1
)
=
n
Γ
(
n
)
=
⋯
=
n
!
Γ
(
1
)
=
n
!
{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\,\Gamma (n)=\cdots =n!\,\Gamma (1)=n!\,}
สำหรับทุกค่า n ที่เป็นจำนวนธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น Γ (5) = 4! เป็นต้น
ค่าสัมบูรณ์ ของฟังก์ชันแกมมาบนระนาบจำนวนเชิงซ้อน
ความสัมพันธ์ดังกล่าวสามารถจัดเป็นฟังก์ชันมีโรมอร์ฟิก (meromorphic function) บนค่า x โดยมีโพล อยู่บน x = −n (เมื่อ n = 0, 1, 2, 3, ...) และมี ส่วนตกค้าง อยู่ที่
(
−
1
)
n
n
!
{\displaystyle \textstyle {\frac {(-1)^{n}}{n!}}}
ดังนั้นเราจะสามารถขยาย Γ (z ) ไปเป็นฟังก์ชันมีโรมอร์ฟิกโดยนิยามให้มีค่าสำหรับทุกๆ ค่า z ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน ยกเว้นเมื่อ z = 0, −1, −2, −3, ... ตามการต่อเนื่องวิเคราะห์ (analytic continuation) ซึ่งส่วนขยายดังกล่าวมักเป็นการอ้างถึงฟังก์ชันแกมมาโดยปกติ
นิยามแบบอื่น
เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ และคาร์ล ไวแยร์สตราสส์ (Karl Weierstrass) ได้นิยามฟังก์ชันแกมมาโดยใช้ผลคูณอนันต์ ตามลำดับดังนี้
Γ
(
z
)
=
lim
n
→
∞
n
!
n
z
z
(
z
+
1
)
⋯
(
z
+
n
)
Γ
(
z
)
=
e
−
γ
z
z
∏
n
=
1
∞
(
1
+
z
n
)
−
1
e
z
/
n
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\cdots (z+n)}}\\\Gamma (z)&={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}\\\end{aligned}}}
เมื่อ γ คือค่าคงที่ออยเลอร์-แมสเชโรนี ซึ่งสามารถใช้ได้กับทุกค่าของจำนวนเชิงซ้อน z ที่ไม่เท่ากับจำนวนเต็มลบหรือศูนย์
เราสามารถแสดงให้เห็นอย่างตรงไปตรงมาว่า นิยามของออยเลอร์สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน (1) ด้านบน เมื่อ z ไม่เท่ากับ 0, −1, −2, ...
Γ
(
z
+
1
)
=
lim
n
→
∞
n
!
n
z
+
1
(
z
+
1
)
(
z
+
2
)
⋯
(
z
+
1
+
n
)
=
lim
n
→
∞
(
z
n
!
n
z
z
(
z
+
1
)
(
z
+
2
)
⋯
(
z
+
n
)
n
(
z
+
1
+
n
)
)
=
z
Γ
(
z
)
lim
n
→
∞
n
(
z
+
1
+
n
)
=
z
Γ
(
z
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{z+1}}{(z+1)\;(z+2)\cdots (z+1+n)}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left(z\;{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\;(z+2)\cdots (z+n)}}\;{\frac {n}{(z+1+n)}}\right)\\&=z\;\Gamma (z)\;\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{(z+1+n)}}\\&=z\;\Gamma (z)\\\end{aligned}}}
คุณสมบัติ
คุณสมบัติทั่วไป
สมการเชิงฟังก์ชันอื่นสำหรับฟังก์ชันแกมมาที่สำคัญคือ สูตรการสะท้อนของออยเลอร์ (Euler's reflection formula)
Γ
(
1
−
z
)
Γ
(
z
)
=
π
sin
(
π
z
)
{\displaystyle \Gamma (1-z)\;\Gamma (z)={\pi \over \sin {(\pi z)}}\,\!}
และ สูตรการทำซ้ำ (duplication formula)
Γ
(
z
)
Γ
(
z
+
1
2
)
=
2
1
−
2
z
π
Γ
(
2
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z)\,\!}
ซึ่งสูตรการทำซ้ำเป็นกรณีพิเศษกรณีหนึ่งของทฤษฎีบทการคูณ (multiplication theorem) ที่ว่า
Γ
(
z
)
Γ
(
z
+
1
m
)
Γ
(
z
+
2
m
)
⋯
Γ
(
z
+
m
−
1
m
)
=
(
2
π
)
(
m
−
1
)
/
2
m
1
/
2
−
m
z
Γ
(
m
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{(m-1)/2}\;m^{1/2-mz}\;\Gamma (mz)\,\!}
อนึ่ง ค่าของฟังก์ชันแกมมา ซึ่งตัวแปรต้นไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม ที่เป็นที่รู้จักมากที่สุดคือ
Γ
(
1
2
)
=
π
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}\,\!}
สามารถหาได้จากการแทนค่า z = 1/2 ลงในสูตรการสะท้อนด้านบน หรือจากฟังก์ชันบีตา โดยผ่านค่า (1/2, 1/2) ลงไป ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ออกมาเท่ากับ π โดยทั่วไปแล้ว หากเราให้ n เป็นจำนวนคี่ เราจะได้คุณสมบัติอีกอย่างหนึ่งคือ
Γ
(
n
2
+
1
)
=
π
n
!
!
2
(
n
+
1
)
/
2
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)={\sqrt {\pi }}\,{\frac {n!!}{2^{(n+1)/2}}}}
เมื่อ n !! หมายถึงดับเบิลแฟกทอเรียล
อนุพันธ์ ของฟังก์ชันแกมมา สามารถอธิบายได้ในนิพจน์ของฟังก์ชันโพลีแกมมา ดังตัวอย่าง
Γ
′
(
z
)
=
Γ
(
z
)
ψ
0
(
z
)
{\displaystyle \Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi _{0}(z)\,\!}
ฟังก์ชันแกมมามีโพล (pole) อันดับ 1 อยู่ที่ z = −n สำหรับทุกค่าของ n ที่เป็นจำนวนธรรมชาติ และส่วนตกค้าง (residue) มีค่าเท่ากับ
Res
(
Γ
,
−
n
)
=
(
−
1
)
n
n
!
{\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}\,\!}
ทฤษฎีบทบอร์-โมลเลอรัป ระบุว่า ในบรรดาฟังก์ชันทั้งหมดที่ขยายมาจากฟังก์ชันแฟกทอเรียลบนจำนวนจริงบวก มีเพียงฟังก์ชันแกมมาเท่านั้นที่เป็นฟังก์ชันคอนเวกซ์แบบลอการิทึม (logarithmically convex function) ซึ่งหมายความว่า ลอการิทึมธรรมชาติ ของฟังก์ชันแกมมาเป็นฟังก์ชันคอนเวกซ์ (convex function)
ฟังก์ชันพาย
สัญกรณ์อีกรูปแบบหนึ่งซึ่งนำเสนอโดยคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ คือ ฟังก์ชันพาย (Pi function, P ตัวใหญ่ ) ใช้อธิบายนิพจน์ของฟังก์ชันแกมมาว่า
Π
(
z
)
=
Γ
(
z
+
1
)
=
z
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)\,\!}
ดังนั้น
Π
(
n
)
=
n
!
{\displaystyle \Pi (n)=n!\,\!}
โดยการใช้ฟังก์ชันพาย เราจึงสามารถเขียนสูตรการสะท้อนได้อีกรูปแบบหนึ่งดังนี้
Π
(
z
)
Π
(
−
z
)
=
π
z
sin
(
π
z
)
=
1
sinc
(
z
)
{\displaystyle \Pi (z)\;\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}\,\!}
เมื่อ "sinc" หมายถึงฟังก์ชันไซน์คาร์ดินัล แบบบรรทัดฐาน (normalized sinc function) ในขณะที่ทฤษฎีบทการคูณก็สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของฟังก์ชันพายได้เช่นกัน
Π
(
z
m
)
Π
(
z
−
1
m
)
⋯
Π
(
z
−
m
+
1
m
)
=
(
(
2
π
)
m
2
π
m
)
1
/
2
m
−
z
Π
(
z
)
{\displaystyle \Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=\left({\frac {(2\pi )^{m}}{2\pi m}}\right)^{1/2}\,m^{-z}\,\Pi (z)\,\!}
เรายังสามารถหาค่าของ
π
(
z
)
=
1
Π
(
z
)
{\displaystyle \pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}}\,\!}
ซึ่งเป็นฟังก์ชันทั่ว (entire function) นิยามบนทุกค่าของจำนวนเชิงซ้อน และเนื่องจาก π (z ) เป็นฟังก์ชันทั่ว นั่นคือฟังก์ชันดังกล่าวไม่มีโพล ดังนั้นผลลัพธ์ของ Γ (z ) จึงไม่มีทางเป็นศูนย์
ความสัมพันธ์กับฟังก์ชันอื่น
ในตัวนิยามของฟังก์ชันแกมมาที่เป็นปริพันธ์ (สูตรแรกสุด) ขอบเขตของการหาปริพันธ์ได้ถูกกำหนดตายตัวไว้ ดังนั้นจึงมีการสร้างฟังก์ชันแกมมาไม่สมบูรณ์ (incomplete Gamma function) ในรูปแบบ Γ (a , x ) ขึ้นมาเพื่อให้สามารถหาปริพันธ์ทั้งด้านซ้ายและด้านขวาของค่า x ใดๆ ก็ได้ที่อยู่ระหว่าง 0 ถึง ∞
ฟังก์ชันแกมมามีความสัมพันธ์กับฟังก์ชันบีตา ด้วยสูตรนี้
B
(
x
,
y
)
=
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
Γ
(
x
+
y
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\;\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}\,\!}
π
−
z
/
2
Γ
(
z
2
)
ζ
(
z
)
=
π
−
1
−
z
2
Γ
(
1
−
z
2
)
ζ
(
1
−
z
)
{\displaystyle \pi ^{-z/2}\;\Gamma \left({\frac {z}{2}}\right)\zeta (z)=\pi ^{-{\frac {1-z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {1-z}{2}}\right)\;\zeta (1-z)\,\!}
และในอีกสูตรหนึ่งที่ดูเรียบง่ายคือ
ζ
(
z
)
Γ
(
z
)
=
∫
0
∞
u
z
−
1
e
u
−
1
d
u
{\displaystyle \zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{z-1}}{e^{u}-1}}\;\mathrm {d} u\,\!}
แผนภาพ
ส่วนจริงของ Γ (z)
ส่วนจินตภาพของ Γ (z)
ค่าสัมบูรณ์ของ Γ (z)
ส่วนจริงของ log Γ (z)
ส่วนจินตภาพของ log Γ (z)
ค่าสัมบูรณ์ของ log Γ (z)
ค่าเฉพาะบางค่าที่ควรทราบ
Γ
(
−
3
/
2
)
=
4
π
3
≈
2.363
Γ
(
−
1
/
2
)
=
−
2
π
≈
−
3.545
Γ
(
1
/
2
)
=
π
≈
1.772
Γ
(
1
)
=
0
!
=
1
Γ
(
3
/
2
)
=
π
2
≈
0.886
Γ
(
2
)
=
1
!
=
1
Γ
(
5
/
2
)
=
3
π
4
≈
1.329
Γ
(
3
)
=
2
!
=
2
Γ
(
7
/
2
)
=
15
π
8
≈
3.323
Γ
(
4
)
=
3
!
=
6
{\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx 2.363\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.545\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx 0.886\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx 1.329\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx 3.323\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}}
อ้างอิง
↑ George Allen, and Unwin, Ltd., The Universal Encyclopedia of Mathematics . United States of America, New American Library, Simon and Schuster, Inc., 1964. (Forward by James R. Newman )
แหล่งข้อมูลอื่น
แหล่งข้อมูลอื่น
หนังสือตำรา
Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 6)
G. Arfken and H. Weber. Mathematical Methods for Physicists . Harcourt/Academic Press, 2000. (See Chapter 10.)
Harry Hochstadt. The Functions of Mathematical Physics . New York: Dover, 1986 (See Chapter 3.)
W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. Numerical Recipes in C . Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 6.1.)