Diferenciál (matematika)

Diferenciál v matematice vyjadřuje závislost změny hodnoty funkce na malé změně jejího argumentu. Tuto závislost aproximuje u reálné funkce jedné proměnné jako přímou úměrnost v okolí zvoleného bodu. Pro funkce více proměnných se používá totální diferenciál, který přírůstek funkční hodnoty nahrazuje lineární funkcí. Diferenciály se hojně využívají např. ve fyzice nebo při práci s diferenciálními rovnicemi.

Diferenciál ${\displaystyle \mathrm {d} y}$ funkce ${\displaystyle y=f(x)}$ v bodě ${\displaystyle x}$ při změně argumentu ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ je součin

${\displaystyle \mathrm {d} y=f'(x)\,\mathrm {d} x}$,

kde ${\displaystyle f'(x)}$ je derivace funkce ${\displaystyle f}$ v bodě ${\displaystyle x}$, přičemž pro existenci diferenciálu je nutná (a postačující) existence této derivace.

Použití k aproximaci funkce

S použitím diferenciálu lze hodnotu funkce ${\displaystyle y=f(x)}$ v okolí bodu ${\displaystyle x}$ vyjádřit vztahem

${\displaystyle f(x+\mathrm {d} x)=y+\mathrm {d} y+\varepsilon }$,

kde

${\displaystyle y=f(x)}$ je hodnota funkce ${\displaystyle f}$ v bodě ${\displaystyle x}$,

${\displaystyle \mathrm {d} y=f'(x)\,\mathrm {d} x}$ je diferenciál funkce ${\displaystyle f}$ v bodě ${\displaystyle x}$ při změně argumentu ${\displaystyle \mathrm {d} x}$,

${\displaystyle \varepsilon }$ je chyba aproximace, která je pro malé ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ velmi malá:

${\displaystyle \lim _{\mathrm {d} x\to 0}{\varepsilon }=0}$

Související články

• Totální diferenciál
• Lineární aproximace
• Infinitezimál