Keskijana

Keskijana eli mediaani on geometriassa jana, jonka toinen päätepiste on kohdejanan keskipisteessä. Esimerkiksi kolmiossa keskijana kulkee kolmion kärjestä vastakkaisen sivun keskipisteeseen eli kantapisteeseen. (Mediaani tarkoittaa myös erästä keskilukua: lukusarjan keskimmäistä lukuarvoa.)

Keskijanan kantapiste merkitään usein alaviitteellä, mutta merkinnässä on lähteistä riippuen eroja. Jos jana alkaa pisteestä A, saatetaan kantapistettä merkitä ${\displaystyle \scriptstyle M_{A}}$ tai ${\displaystyle \scriptstyle m_{A}}$. Joskus se merkitään ${\displaystyle \scriptstyle M_{a}}$ tai ${\displaystyle \scriptstyle m_{a}}$, jos se sijaitsee janalla ${\displaystyle \scriptstyle a.}$

Tässä merkitään kolmion sivujen pituuksia kirjaimilla a, b ja c sekä kolmion kärkiä kirjaimilla A, B ja C. Kantapisteet ovat silloin M_a, M_b ja M_c sekä keskijanojen pituudet m_a, m_b ja m_c.

Kaavoja

Yleisen kolmion keskijanan pituus on ${\displaystyle \scriptstyle m_{a}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}},}$ missä keskijana toinen pää on janan ${\displaystyle \scriptstyle a}$ keskipisteessä. Tämä on seuraus Apolloniuksen lauseesta.

Kun keskijanojen yhteispituuden puolikasta merkitään ${\displaystyle \scriptstyle s_{m}={\tfrac {1}{2}}(m_{a}+m_{b}+m_{c}),}$ pätee kolme asiaa:

• ${\displaystyle m_{a}^{2}={\tfrac {1}{4}}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})}$ (vastaavasti muillekin kolmion suvuille)
• ${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}={\tfrac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$
• ${\displaystyle A={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {s_{m}(s_{m}-m_{a})(s_{m}-m_{b})(s_{m}-m_{c})}}}$

Yleisiä teoreemoja

Jos kolmiossa on keskijanat yhtä pitkät kuin vastinjanat toisessa kolmiossa, ovat kolmiot yhtenevät.

Jokainen keskijana leikkaa toisensa suhteessa 1 : 2. Keskijanat jakavat kukin yksin kolmion kahteen pinta-alaltaan tai, tasapaksulla levyllä vastaavasti, painoltaan yhtä painavaan, osaan.

Kolmion keskijanat jakavat kolmion kuuteen pienempään kolmioon, joilla kaikilla on sama pinta-ala.

Kolmion keskijanojen kantapisteiden kautta voidaan piirtää ympyrä. Tämä ympyrä kulkee myös kolmion korkeusjanojen kantapisteiden kautta.

Keskijanojen kantapisteistä muodostuu keskinen kolmio, jonka painopiste sama kuin alkuperäiselläkin kolmiolla.

Jos kolmion keskijana on samalla korkeusjana eli se kohtaa janan kohtisuorasti, on kolmio tasakylkinen- tai tasasivuinen kolmio.

Painopiste

Kolmion keskijanat leikkaavat aina samassa pisteessä, jota kutsutaan painopisteeksi ja merkitään usein kirjaimella G. Painopiste jakaa jokaisen keskijanan osiin suhteessa 2 : 1 siten, että janan lyhyempi osa jää kantapisteen puolelle.

Lähteet

• Väisälä Kalle: Geometria. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf).
• Kurittu Lassi: Geometria (pdf) (luentomoniste) 2006. Jyväskylän: Jyväskylän Yliopisto.
• Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi (pdf) (luentomoniste) users.utu.fi. 2012. Turun yliopisto. Viitattu 14.12.2012.
• Seppänen, Raimo et al.: MAOL. (lukion taulukkokirja). Helsinki: Otava, 1999. ISBN 951-1-20607-9.

Viitteet