Ympyrän kaari

Ympyrän kaari tarkoittaa geometriassa ympyrän kehän osaa. Muiden käyrien tapauksessa voidaan puhua kaaresta silloin, kun on käsitellään käyrän kaarevuutta tai kaarevan käyrän osasta.

Kaaren päätepisteet määrittävät kaaren alku- ja loppupään. Jos alku- ja loppupisteet ovat samat, on kaaren pituus 0 tai koko ympyrän kehän pituus. Jos päätepisteet sijaitsevat ympyrän halkaisijalla, muodostaa kaari puoliympyrän.

Päätepisteiden välinen kaari voidaan merkitä käyttämällä etuliitettä "arc" (arc AB) tai merkitsemällä kirjainten yläpuolelle kaaren (${\displaystyle \scriptstyle {\overset {\frown }{AB}}}$). Huomaa "arc"-etuliitteen toinen merkitys trigonometristen käänteisfunktioiden nimessä (arcsin x).

Kaaren pituus

Ympyränkaaren pituus b voidaan ilmaista sektorin keskuskulman (${\displaystyle \scriptstyle \alpha }$ asteina) ja kaaren kaarevuussäteestä eli ympyrän säteellä R :

${\displaystyle b={\frac {\alpha }{360^{\circ }}}2\pi R.}$

Kaaren pituus ja keskuskulma ovat suoraan verrannolliset (${\displaystyle \scriptstyle \alpha \sim b}$). Käyttämällä kulmana radiaaneja, muuttuu lauseke yksinkertaisemmaksi (${\displaystyle \theta }$ radiaaneina)

${\displaystyle b=R\theta .}$

Muiden käyrien kaarenpituuksia määritetään integraalilaskennan keinoin.

Radiaanit

Koska kaaren pituus ja keskuskulma ovat suoraan verrannolliset, voidaan keskuskulman suuruus määrittää kaarenpituuden avulla. Koska kaarenpituus riippu myös säteestä, voidaan sen vaikutus poistaa jakamalla kaaren pituus säteellä. Saatua lukua kutsutaan radiaaniksi ja sitä käytetään vaihtoehtoisena kulmamittana erilaisille asteille. Radiaanin sanallinen tulkinta voisi olla: "Kuinka montaa säteen mittaa kaarella vastaa ympyrän keskuskulmaa?".

Kaarevuus ja säde

Kaaren kaarevuus on kaarevuussäteen käänteisluku. Mitä voimakkaamin kaari kaareutuu, sitä pienemmäksi sen säde tulee. Kaarevuuden ${\displaystyle \kappa }$ ja kaarevuussäteen R välillä on voimassa

${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{R}}.}$

Kaaren säde R voidaan laskea, jos tunnetaan kaaren AB leveys C = 2c ja korkeus t (vertaa kuvaa ylhäällä). Täydennetään ympyrän kaaren kuvioon kolme sädettä, josta kaksi päättyvät kaaren päätepisteisiin (OA ja OB) ja yksi kaaren keskipisteeseen (OC). Keskipisteeseen päättyvä säde voidaan jakaa osiin a = OD ja t = DC, missä ${\displaystyle a=R-t}$. Kolmio OAD on suorakulmainen, joten pythagoraan lauseesta saadaan

${\displaystyle a^{2}+c^{2}=R^{2}\Leftrightarrow (R-t)^{2}+c^{2}=R^{2}\Leftrightarrow {\cancel {R^{2}}}-2Rt+t^{2}+c^{2}={\cancel {R^{2}}}\Leftrightarrow }$

${\displaystyle R={\frac {c^{2}}{2t}}+{\frac {t}{2}}}$

ja käyttämällä C = 2c

${\displaystyle R={\frac {C^{2}}{8t}}+{\frac {t}{2}}.}$

Kaaren säde voidaan laskea myös yksinkertaisemmin hyödyntämällä pisteen potenssia. Kun kaaren leveys on W ja korkeus H, saadaan kaaren ympyrän halkaisijaksi

${\displaystyle D={\frac {(0,5W)^{2}}{H}}+H}$

Kaaren säteen saa jakamalla halkaisija kahdella.

Etymologia

Kaari esiintyy suomen lähisukulaiskielissä ja saamessa ulkoasultaan melko samantapaisena. Etäisimmistäkin sukulaiskielistä on havaittu ääntämyksellistä samankaltaisutta, mutta tämä on epävarmaa. Joka tapauksessa sanan ensimmäinen esiintyminen kirjoitetussa tekstissä on Agricolan tekstissä sanassa taivaankaari, jolla tarkoitettiin sateenkaarta. Tässä kaari viittaa pyöreään muotoon. Toinen merkitys sanalle kaari löytyy lain sanastosta.

Lähteet