Tempo di arresto

Nella teoria della probabilità, in particolare nello studio dei processi stocastici, un tempo di arresto, conosciuto anche come tempo di Markov, è uno specifico tipo di "tempo casuale", il cui valore dipende solo dagli eventi successi prima o nell'istante stesso. Ad esso può essere associato una regola di arresto, ovvero una regola per definire il tempo d'arresto.

Uno dei risultati più importanti sui tempi di arresto è il teorema di arresto opzionale di Doob.

Definizione

Rispetto a una sequenza di variabili aleatorie ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$ un tempo di arresto ${\displaystyle T}$ è una variabile aleatoria con la proprietà che per ogni ${\displaystyle t}$ l'evento ${\displaystyle \{T=t\}}$ dipende solo dalle variabili ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{t}}$.

Una definizione più generale può essere data attraverso le filtrazioni: sia ${\displaystyle I}$ un insieme ordinato (ad esempio ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ oppure ${\displaystyle I=[0,+\infty )}$) e sia ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathcal {F}}_{t},\mathbb {P} )}$ uno spazio di probabilità con filtrazione ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$. Allora una variabile casuale ${\displaystyle T}$ su ${\displaystyle \Omega }$ è detta tempo di arresto se ${\displaystyle \{T\leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}}$ per ogni t in ${\displaystyle I}$.

In altre parole, è possibile decidere se l'evento ${\displaystyle \{T\leq t\}}$ è accaduto conoscendo gli eventi in ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$: si dice che ${\displaystyle \{T\leq t\}}$ è ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$-misurabile.

La definizione può anche richiedere che ${\displaystyle P\{T<\infty \}=1}$, ovvero che ${\displaystyle T}$ sia quasi certamente finito, ma in alcuni casi questa condizione viene omessa.

Proprietà

Sono equivalenti i seguenti fatti:

1. ${\displaystyle T}$ è un tempo di arresto
2. l'evento ${\displaystyle \{T=t\}\in {\mathcal {F}}_{t},\forall {t\in I}}$
3. l'evento ${\displaystyle \{T>t\}\in {\mathcal {F}}_{t},\forall {t\in I}}$

Dimostrazione

(1) implica (3) e (3) implica (1)

L'evento ${\displaystyle \{T>t\}}$ è pari al complementare di ${\displaystyle \{T\leq t\}}$per ogni ${\displaystyle t}$ appartenente a ${\displaystyle I}$, ossia ${\displaystyle \{T>t\}=\{T\leq t\}^{c},\forall {t\in I}}$.

(1) implica (2)

Dato che ${\displaystyle T}$ è un tempo di arresto si ha che ${\displaystyle \{T=t\}={\begin{cases}\{T\leq t\}{\text{ se }}t=\min {(I)}\\\{T\leq t\}-\{T\leq t-1\}{\text{ altrimenti}}\end{cases}}}$

(2) implica (1)

L'evento ${\displaystyle \{T\leq t\}}$ può essere visto come l'unione di tutti gli eventi ${\displaystyle \{T=s\}}$ per ogni ${\displaystyle s\leq t}$, ossia ${\displaystyle \{T\leq t\}=\bigcup _{s\in I,s\leq t}\{T=s\}}$. Considerando che ${\displaystyle \{T=s\}}$ appartiene a ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}}$ e ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}}$ appartiene a ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$, in quanto ${\displaystyle s\leq t}$, si può dedurre che tutta l'unione degli eventi appartiene a ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$.

Istante aleatorio

Se ${\displaystyle T}$ è un tempo di arresto rispetto alla filtrazione ${\displaystyle {\mathcal {F}}=({\mathcal {F_{t}}})_{t\in I}}$ si può definire l'evento ${\displaystyle \{T=+\infty \}}$ come l'intersezione di tutti gli eventi ${\displaystyle \{T>t\}}$, per ogni ${\displaystyle t}$, ossia ${\displaystyle \{T=+\infty \}=\bigcap _{t\in I}\{T>t\}}$. Per la proprietà (1) dei tempi di arresto si ha che l'evento ${\displaystyle \{T>t\}}$ appartiene a ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ e quindi l'intersezione su tutti i ${\displaystyle t}$ appartiene all'or logico su tutta la filtrazione, ossia ${\displaystyle \bigvee _{t\in I}{\mathcal {F}}_{t}}$, data dalla ${\displaystyle \sigma }$-algebra generata dall'unione della filtrazione. Pertanto si definisce la tribù ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }=\sigma {\Bigl (}\bigcup _{t\in I}{\mathcal {F}}_{t}{\Bigr )}=\bigvee _{t\in I}{\mathcal {F}}_{t}}$ con ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$.

Si definisce la tribù ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{T}=\{A\in {\mathcal {F}}_{\infty }:A\cap \{T=t\}\in {\mathcal {F}}_{t},\forall {t\in I}\}}$, che rappresenta l'informazione disponibile ad ogni tempo ${\displaystyle t}$. Se ${\displaystyle (X_{t})_{t\in I}}$ è un processo stocastico reale e ${\displaystyle T}$ una variabile aleatoria discreta dallo spazio ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ a valori in ${\displaystyle I\cup \{+\infty \}}$è possibile definire la variabile aleatoria reale ${\displaystyle X_{T}}$, che assume il valore del processo all'istante aleatorio ${\displaystyle T}$, come la somma di tutte le ${\displaystyle X_{t}}$ quando ${\displaystyle \{T=t\}}$ più un valore ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ quando ${\displaystyle \{T=+\infty \}}$, ossia ${\displaystyle X_{T}=\sum _{t\in I}X_{t}\mathrm {I} _{\{T=t\}}+x\mathrm {I} _{\{T=+\infty \}}}$, dove ${\displaystyle \mathrm {I} _{E}}$ è la funzione indicatrice dell'evento ${\displaystyle E}$.

Criterio di misurabilità ad un istante aleatorio

Se il processo ${\displaystyle (X_{t})_{t\in I}}$ è adattato alla filtrazione ${\displaystyle {\mathcal {F}}=({\mathcal {F_{t}}})_{t\in I}}$ e ${\displaystyle T}$ è un tempo di arresto rispetto a ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, allora il valore del processo all'istante aleatorio ${\displaystyle T}$ è ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{T}}$-misurabile. In altre parole la variabile aleatoria ${\displaystyle X_{T}}$ è misurabile rispetto alla tribù ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{T}}$.

Dimostrazione

Per definizione di valore ad un istante aleatorio si ha che ${\displaystyle X_{T}=\sum _{t\in I}X_{t}\mathrm {I} _{\{T=t\}}+x\mathrm {I} _{\{T=+\infty \}}}$. Dato che ${\displaystyle (X_{t})_{t}}$ è adattato rispetto a ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ si ha che ogni ${\displaystyle X_{t}}$ è ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$-misurabile. Essendo ${\displaystyle T}$ un tempo di arresto anche la funzione indicatrice dell'evento ${\displaystyle \{T=t\}}$ è ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$-misurabile, mentre la funzione indicatrice dell'evento ${\displaystyle \{T=+\infty \}}$ è misurabile rispetto alla tribù ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }}$. Pertanto tutta la somma è misurabile rispetto a ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }}$ e quindi per ogni ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\Rightarrow \{X_{T}\in B\}\in {\mathcal {F}}_{\infty }}$. In altre parole per ogni boreliano ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ della retta reale, l'evento che il valore del processo arrestato al tempo aleatorio ${\displaystyle T}$ appartenga a ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ è misurabile rispetto a ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }}$.

L'evento ${\displaystyle \{X_{T}\in B\}\cap \{T=t\}}$ è pari all'evento ${\displaystyle \{X_{t}\in B\}\cap \{T=t\}}$, in quanto ${\displaystyle T=t}$. Avendo che ${\displaystyle \{X_{t}\in B\}\in {\mathcal {F}}_{t}}$ in quanto il processo ${\displaystyle (X_{t})_{t\in I}}$ è adattato rispetto alla filtrazione e ${\displaystyle \{T=t\}\in {\mathcal {F}}_{t}}$ in quanto ${\displaystyle T}$ è un tempo di arresto rispetto alla filtrazione, anche l'evento intersezione è ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$-misurabile.

Pertanto ${\displaystyle \{X_{t}\in B\}\cap \{T=t\}\in {\mathcal {F}}_{t}\Longrightarrow \{X_{T}\in B\}\in {\mathcal {F}}_{T}}$, ossia ${\displaystyle X_{T}}$ è ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{T}}$-misurabile.

Processo stocastico arrestato ad un tempo aleatorio

Se ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in I}}$ è un processo stocastico reale adattato ad una filtrazione ${\displaystyle {\mathcal {F}}=({\mathcal {F_{t}}})_{t\in I}}$ e ${\displaystyle T}$ è un tempo di arresto rispetto a ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, si chiama il processo arrestato al tempo ${\displaystyle T}$, il processo così definito: ${\displaystyle X^{|T}=(X_{T\land t})_{t\in I}}$ , dove ${\displaystyle X_{T\land t}={\begin{cases}X_{t}{\text{ se }}T>t\\X_{T}{\text{ se }}T\leq t\end{cases}}}$

Il processo arrestato ad un istante aleatorio assume quindi gli stessi valori del processo stocastico originario, per tutti gli istanti inferiori al tempo di arresto, mentre per gli istanti maggiori è pari al valore del processo al tempo di arresto.

Esempio

Dato un processo ${\displaystyle X=(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4},X_{5},X_{6},\ldots ,X_{n},X_{n+1},X_{n+2},\ldots )}$e un tempo di arresto ${\displaystyle T=5}$, il processo relativo arrestato ${\displaystyle X^{|T}}$ è definito dai valori delle variabili aleatorie di ${\displaystyle X}$ negli istanti da ${\displaystyle 1}$ a ${\displaystyle 5}$, mentre dall'istante ${\displaystyle 6}$ in poi assume sempre il valore di ${\displaystyle X_{5}}$.

${\displaystyle X^{|T}=(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4},X_{5},X_{5},X_{5},\ldots ,X_{5},X_{5},\ldots )}$

Misurabilità di un processo arrestato

Dato che ${\displaystyle X^{|T}}$ è un processo derivato da ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in I}}$ e ${\displaystyle X}$ è adattato rispetto alla filtrazione ${\displaystyle {\mathcal {F}}=({\mathcal {F_{t}}})_{t\in I}}$, anche ${\displaystyle X^{|T}}$ è misurabile rispetto a ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Infatti ${\displaystyle X_{T\land t}}$ sono misurabili rispetto a ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{T\land t}}$, per ogni ${\displaystyle t\in I}$ e la tribù ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{T\land t}}$ è più piccola o al più uguale a quella di ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ in quanto ${\displaystyle T\land t\leq t}$. Quindi anche ${\displaystyle X^{|T}}$ è adattato rispetto a ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.

Esempi

Se consideriamo il caso di due persone che giocano a testa e croce, vincendo o perdendo 1 euro (passeggiata aleatoria simmetrica su ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) e con un capitale finito, si possono definire le seguenti regole di arresto:

• Fermarsi dopo una giocata o un certo numero di giocate, ovvero nel caso in cui ${\displaystyle \tau }$ sia un tempo deterministico, è una regola d'arresto.
• Fermarsi quando uno dei due finisce i soldi è una regola di arresto.
• Fermarsi quando uno raggiunge il massimo di vincite non è una regola di arresto, siccome presuppone di conoscere anche le scommesse successive.
• Fermarsi quando uno raddoppia il proprio capitale, se si richiede che il tempo di arresto sia quasi certamente finito, non è una regola di arresto, in quanto c'è una probabilità positiva che questo non accada.

Bibliografia

• David Williams, Probability with Martingales, Cambridge Mathematical Textbooks, 1991, ISBN 978-0-521-40605-5.

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